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6、矩阵的秩 例题2 方程组的通解、基础解系 例7、 解： R(A)=2 例5 解 一. 向量组的线性相关性 1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 2. 线性组合、线性表示 (1) 判断向量 可由向量组 线性表示的常用方法 方法1： ch4. 向量组的线性相关性 是否非零无要求 关键：存在某组 使上式成立， (2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论 结论1： 向量 可由向量组 线性表示 结论2： 若向量组 线性无关， 而向量组 线性相关， 则向量 必能由向量组 线性表示， 且表示式唯一。 方法2： 证下列非齐次线性方程组有解 即： 利用矩阵的初等行变换 行最简形矩阵 3. 线性相关性的判别方法 (1) 一般方法：设数 使得 成立 求系数是有非零解还是只有零解的问题。 (2) 利用向量组的秩判断： 设向量组 的秩为 当 时， 线性相关； 当 时， 线性无关。 (3) 利用常用结论： 1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。 2个非零向量线性相关 对应分量成比例 4. 最大无关组的选取或证明 (1) 初等变换法（最常用） 将列向量组写成矩阵 初等行变换 行阶梯或行最简形矩阵 的一个极大无关组， 例6：求向量组 并把其余向量用该极大无关组线性表示。 n＋1个n维向量线性相关。 部分相关 整体相关；整体无关 部分无关。 短的无关，长的也无关； 长的相关，短的也相关。 解： 是一个极大无关组 并且 考虑：还有那些极大无关组？ 初等行变换 二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法 初等变换后，看非零行的行数。 三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 关于向量组的秩的两个重要定理： （1）若向量组 可以由向量组 线性表示，则 那么 线性相关。 (3)(三秩相等) 矩阵A的秩＝A的行秩＝A的列秩。 （2）若向量组 可以由向量组 线性表示，并且 １．向量空间的概念： 　　 向量的集合对加法及数乘两种运算封闭； 　　 由向量组生成的向量空间． ２．子空间的概念． ３．向量空间的基，维数和坐标； 　　求向量空间基和维数的方法（生成子空间）； 求向量在给定基底下的坐标。 四. 向量空间 五. 正交化与正交矩阵 1. 正交化、单位化 2. 正交矩阵 的n个列（行）向量组为单位正交向量组 也是正交矩阵 是正交矩阵，则 也是正交矩阵 定理1 设有非齐次线性方程组(1) 定理2 设有齐次线性方程组（2） 设r(A)=r,则 线性方程组的解法与解的结构 定理1 设有齐次线性方程组（2） 定理2 设有非齐次线性方程组（1） * 解 解 设 线性无关, 问 满足什么时, 线性相关. 向量组: 分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题, 首先要把它改写成矩阵乘积的形式. 则 例4 解: 由于 是列满秩矩阵, 故 线性相关 上面秩 3 当 时, 线性相关. Ⅳ、秩的求法： 1）初等变法： 2）若P可逆，则 4 ) 当 时， 5 ) 有r阶子式不为0 所有r+1阶子式全为0 A, B 为非零矩阵且 AB = O, 则 (A) A 的列组线性相关, B 的行组线性相关 (B) A 的列组线性相关, B 的列组线性相关 (C) A 的行组线性相关, B 的行组线性相关 (D) A 的行组线性相关, B 的列组线性相关 设 说明 Ax = 0 或 AX=O 有非零解, 故r(A)n, 从而 A 的列组相关; 考虑转置 ,同样的道理, 矩阵 列组即 B 的行组相关. 另, r(A)+r(B)≤n, r(A)0, r(B)0, 得 r(A)n 和 r(B)n, 从而 A 的列组和 B 的行组相关. 例3 例9 设 是非齐次 Ax = b 的两个不