南京工业大学材料力学、材料力学 超静定问题.pptVIP

第十四章 超静定结构 以未知力（内力或约束反力）为基本未知量求解超静定问题的方法，称为力法，选择静定基为求解对象时，又称为变形比较法。该方法解题的控制方程是变形（或位移）谐调条件。 能量原理是计算结构位移的有效方法，因而能量原理也是求解超静定问题的有效方法。 利用能量原理列出计算结构位移的公式，再令这些位移满足变形谐调条件，即可得到求解超静定结构的正则方程。 §13-3 力法求解超静定系统 力法正则方程 以本例说明解法 位移协调条件 利用位移协调条件： 对称结构在对称载荷作用下，对称面 E，既不能转动也不能左右移动，它只能 向上下移动，可简化成定向支承。 对称结构在反对称载荷作用下，变形 是反对称的，其对称面E，没有上、下移 动，E点为反弯点，该处弯矩为零，可简 化成可动铰支座。 如作用在对称结构上的载荷不是对称的或反对称的，则可把它分解为对称的和反对称的两种载荷的叠加。分别求出对称和反对称两种情况的解后，叠加起来即为原载荷作用时的解。 解： ⒈ 选取相当系统，列出力法正则方程 ⒉ 确定系数和常数项 ⒊ 求解力法正则方程，得出未知力 例 刚架及载荷如图所示，试绘出此刚架的弯矩图， 并标出有关数值。 取结构的一半进行研究，则为一次超静定 ⒋ 作刚架的弯矩图 * ?超静定结构—如果一个工程系统，其未知力的数目多于该系统能列出的独立平衡方程的数目，因而仅仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则该系统称为超静定系统。 ?超静定次数=未知力的数目-独立平衡方程数 §14.1 基本概念 ?超静定系统的作用：为了提高工程结构中构件的强度和刚度。 3.混合超静定系统：系统的支座反力和内力都是超静定的,如(c)。 ?超静定系统的类型 1.外部超静定系统：系统的支座反力是超静定的，如(a)； 2.内部超静定系统：系统的支座反力是静定的，但系统的内 力是超静定的，如(b)； P P A B C D E (a) P P A B (b) P P A B (c) q 外力超静定 内力超静定 既有内力超静定，又有外力超静定 如何求解超静定问题？ 1. 静力平衡方程 2. 变形协调方程补充 3. 物理方程在静力平衡与变形协调之间架桥 (二)求解超静定问题的解法 A B q L B q L A 1.确定超静定次数。 2.选择基本静定梁（静定基)。 3.列出变形协调条件。 4.用能量法或叠加法计算梁 的弯曲变形。 （1）莫尔积分法 x B A x 单位弯矩方程为： (b) 梁的弯矩方程式： (a) 在B处加一单位力: 5.根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束力。 6.在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。 所以 (c) 将(a)(b)两式代入?式得： 可解得： 仅有q作用，B点挠度为： 仅有 作用，B点挠度为： 因此 B q l A （2）叠加法 变形协调条件： ： 在B点作用单位载荷时，B点 的铅垂向位移。 B q L A x B A :由于载荷q所引起的B点的铅垂 向位移； : 在B点作用单位载荷时，B点 的铅垂向位移。 若改用另一套符号系统 §14.2 能量法应用 一、卡氏定理求解超静定结构 去掉多余约束，代以约束力FR1、FR2…FRn。 梁的应变能： 由卡氏定理可得： 例 如图所示的超静定结构，梁的EI为已知常数，试用卡氏定理求出支座B的约束力FB。 解： ⒈ 选取相当系统，并求出其它约束力 由平衡方程ΣMC = 0，得 从而 ⒉ 列出梁的内力方程 AC段 BC段 ⒊ 计算系统应变能求与多余约束力对应的变形位移 根据卡氏定理，梁B处的挠度为 ⒋ 建立补充方程，求解多余约束力 因此 求出B处支座约束力后，其它支座约束力即可由静力平衡方程求出，梁的内力由截面法随之确定。 由于B处有支座，梁的挠度应为零 二、莫尔积分（单位载荷法）求解超静定结构 去掉多余约束后，梁内弯矩应是原有载荷与多余约束力的函数： 设在多余约束力处分别单独作用单位载荷时，梁内对应的弯矩为： 则有： 例 设图a所示刚架各杆EI皆相等，试求支座C的约束力。 ⒈ 选取相当系统，并求各杆实际内 力和虚拟内力。 解 CB段： BA段： ⒉ 计算多余约束处相应的变形位移 由莫尔定理，得 ⒊ 建立补充方程，确定多余约束力 由位移条件，可知 C 截面的竖直位移和 水平位移都为零，因此，有 求解上列方程组，得 解除 杆件或支座 结构静定化 静定基 （不是唯一的，以方便为准） 力法的思想是简单易懂的 建立 在未知力处 变形协调条件 借