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第七章 网络优化模型 图与网络的基本概念 最短路径问题 最大流问题 7.1 图与网络的基本概念 7.1 图与网络的基本概念 生成树—解法（1） 避圈法的另一种表述 先去掉图G中所有边，只留下点，每次任意放回一条边，使之与已经放回的边不构成圈，反复进行，直到有（n-1）条边为止。 生成树—解法（2） 最小生成树—解法1 避圈法另一种表述 先去掉图G的所有边，只留下顶点，每次放回一条权最小的边，使之与已经放回的边不构成圈，反复进行，直到有（n-1）条边为止。 最小生成树—解法（2） 破圈法举例 （1）将 s 个叶子按权由小至大排序，不妨设为 p1 ≤ p2 ≤ … ≤ ps 。 （2）将二个具有最小权的叶子合并成一个分枝点，其权为 p1 + p2 ，将新的分枝点作为一个叶子。令 s ?s – 1，若 s = 1停止，否则转(1) 例 s = 6，其权分别为 4，3，3，2，2，1，求最优 2 叉树 最优 2 叉树的应用 最优检索问题——使用计算机进行图书分类。有五类图书共 100 万册，其中有 A 类 50 万册，B 类 20 万册， C 类 5 万册，D 类 10 万册，E 类 15 万册。问如何安排分检过程，可使总运算（比较）次数最少？ 7.2 最短路问题 Dijkstra 算法（标号算法） T标号 (试探性标号) ; P标号 (永久性标号) 增广链法 增广链 vs→v2→v5←v1→v4→vt 习题 在根树中，若每个顶点的出次d-(vi) ≤m，称这棵树为m叉树。 若每个顶点的出次d-(vi) =m或0，则称这棵树为完全m叉树 7.1 图与网络的基本概念 霍夫曼树：满足总权最小的 2 叉树 T* 称为最优 2 叉树，又称霍夫曼树 s 个叶子上带权的2 叉树 ： pi — 2 叉树 T 的树叶 i 的权， li — 树根到树叶 i 的距离（层次） i = 1, …, s m( T ) — 2 叉树 T 的总权数 m( T ) = ∑ pi li 最优 2 叉树的直观意义：叶子的距离随着权的递减而增加，所以总权最小 求最优 2 叉树的霍夫曼算法： 1 2 2 3 3 4 3 1 2 3 5 2 3 3 4 总权为： 1×4 + 2 ×4 + 2 ×3 + 3 ×2 + 3 ×2 + 4 ×2 = 38 6 解：构造一棵有 5 个叶子的最优 2 叉树，其叶子的权分别为 50，20，5，10，15。总权为： m（T*）= 5×4 + 10 ×4 + 15 ×3 + 20 ×2 + 50 ×1 = 195 5 10 15 20 50 15 30 50 C D E B A 100 A？ B？ A N Y E？ B N Y D？ E N Y D N Y C 最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一，许多优化问题，如设备更新、管道铺设、线路安排等都可以化为最短路问题求解。 最短路问题的提法：设G=(V, E,W)为网络（赋权图），图中的各边(vi, vj)有非负权Wij (Wij=?表示vi, vj间无边), vs, vt是图中任意两点，求一条道路μ，使它是从vs到vt的所有道路中总权最小的道路。 5 2 1 6 5 8 2 8 9 9 7 2 2 1 2 1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 5 2 11 12 12 10 5 7 6 6 7 9 9 10 10 6 3 3 x y 起点到该点 的最短距离 起点到该点的最 短距离的上界 最短路问题 7 5 5 v2 v3 v7 v1 v8 v4 v5 v6 6 1 3 4 10 5 2 7 5 9 3 4 6 8 2 求从v1到v8的最短路径 标号：T标号（试探性标号） P标号（永久性标号） 1、狄克斯托算法（Dijkstra）:标号法 V2 V3 V7 V1 V8 V4 V5 V6 6 1 3 4 10 5 2 7 5 9 3 4 6 8 2 P(v1)=0, T(vi)=∞ T(v2)= min { ? ,2}=2 , T(v4)=1 , T(v6)=3 min {T(v2),T(v4),T(v6)}=min {2，1，3} =1 P(v4) =1,记录路径（V1,V4） 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 3 1 1 2 v2 v3 v7 v1 v8 v4 v5 v6 6 1 3 4 10 5 2 7 5 9 3 4 6 8 2 2 0 1 T(v2)=2 T(v7)=3 min {T(v2),T(