D3_2 泰勒公式.pptVIP

第二节 一、泰勒公式的建立 1. 求 n 次近似多项式 2. 余项估计 泰勒(Taylor)中值定理 : 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 特例: 在泰勒公式中若取 二、几个初等函数的麦克劳林公式 泰勒多项式逼近 泰勒多项式逼近 常用的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 例1 例2 作业 内容小结 2. 常用函数的麦克劳林公式 泰勒(Taylor)中值定理 : 1. 利用泰勒公式证明不等式 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 例2. 用近似公式 思考与练习 泰勒 (1685 – 1731) 麦克劳林 (1698 – 1746) 2. 证明 e 为无理数 . 2. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 解: 已知 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 计算 cos x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差 令 解得 即当 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 . 计算 解: 原式 第四节 英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 《正的和反的增量方法》(1715) 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他是有限差分理论的奠基人 . 英国数学家, 著作有: 《流数论》(1742) 《有机几何学》(1720) 《代数论》(1742) 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 . 证: 由题设对 备用题 1. 有 且 下式减上式 , 得 令 两边同乘 n ! = 整数 + 假设 e 为有理数 ( p , q 为正整数) , 则当 时, 等式左边为整数; 矛盾 ! 证: 时, 当 故 e 为无理数 . 等式右边不可能为整数. 习题集 P34 7. 设 则 ____; ____. 设 书 P93 21. y是由方程 所确定的 x 的函数， 求 解：方程两边求导 得到 幂指函数求导不能简单当成幂函数或指数函数求导 形式 复合函数求导 * 目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 应用 目的－用多项式近似表示函数. 理论分析 近似计算 泰勒公式 第三章 特点: 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 一阶近似 高阶近似 要求: 故 令 则 令 (称为余项) , 则有 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 阶的导数 , 时, 有 ① 其中 ② 则当 泰勒 注意到 ③ ④ 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 公式 称为带有佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式. ④ (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 则有 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 麦克劳林 由此得近似公式 称为带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式 . 其中 麦克劳林公式 若以 n 次多项式作为 的近似，则有 误差为 若取 x = 1，则得到 误差为 其中 令 当m=1时 误差为 当m=2和3时 和 误差不超过 和 6 4 2 2 4 6 4 2 2 4 O 6 4 2 2 4 6 O 4 2 2 4 已知 其中 因此可得 ) ( )! 1 2 ( ) 1 ( ! 5 ! 3 sin 1 2 1 2 5 3 - - + - - + - + - = n n n-1 x o n x x x x x L ) ( )! 2 ( ) 1 ( ! 6 ! 4 ! 2 1 cos 2 2 6 4 2 n n n x o n x x x x x + - + + - + - = L ) ( ) 1 ( 3 2 ) 1 ln( 3 2 + - + - + - = + n n n-1 x o n x x x x x L ) ( 1 1 1 2 n n x o x x x x + + + + + = - L 1. 利用泰勒公式求极限 型极限 特别是 求极限 (1) 所以 解：因为当