第四章平面问题的极坐标解答(h).pptVIP

解得 其中，A、B、C、D为任意常数。这样 由(4-4)式，得 (c) 将式(c) 代入边界条件(a)，得 求解A、B、C、D，然后令a/b?0，得 由(a)的第一式对r积分得 将式(b)代入，得 其中f(?)是? 的任意函数。 (b) 由(a)的第二式得 积分上式得(c) (c) 其中f1(r)是r 的任意函数。 再将(b)、(c)代入(a)中的第三式，得 即 为使上述方程对任意的r和?都成立，令两边同时等于常数F。 (d) (e) 由(d)得 变换(e) (f) (g) (h) 得 回代(e)得 从而得轴对称应力状态下的位移分量为 式中A、B、C、H、I、K都是任意常数，而H、I、K代表刚性位移。 (4-15) 上述公式同样适用于平面应变情况，只是要E变换为E/(1-?2)，?变换为? /(1- ?)。 现在，我们应用式(4-15)；来求曲梁纯弯曲时的位移。为此，设左端横截面中心点部位固定，并在这点的径向纤维方向固定，见图4-1，则约束条件为： 将式(4-15)代入上述条件，得下列方程 从而求得 于是 这表示任何截面的位移u? ，包括平行位移-2sin? ，对截面上所有各点是相同的，及截面挠曲率中心O转动一角度4B?/E所产生的位移。由此可知，纯弯曲时截面保持为平面，如同初等理论对曲梁的纯弯曲所作的假定一样。在本例中，求解位移的步骤，也适用于一般的平面问题。 §4-6 圆环或圆筒受均布压力 有一厚壁圆筒，如图示，其内半径为a，外半径为b，沿筒的内外表面分别承受均匀分布的压力qa和qb作用。若圆筒很长，它的两个端面受到刚性约束(即没有轴向位移，w=0)，试求其应力分量和位移分量。 按照§2-l的分析，本例属于平面应变问题。 由于厚壁筒的几何形状和载荷情况都是平面轴对称的，所以应力与极角?无关，从而应力函数也应该与?无关。因此，应力函数?可设为只是极坐标 r 的函数。即 边界条件 由(4-14)可见，前两个条件是满足的，而后两个条件要求 (a) (b) 现在，边界条件都已满足，但是两个方程不能决定三个常数A、B、C，因为这里讨论的是多连体(有孔洞)，所以还要考察位移单值条件。 位移单值条件 由式(4-15)可见，在环向位移u?的表达式中，4Br?/E一项是多值的：对于同一个? 值，例如r=r1，在? =? 1时与? =? 1+2?时，环向位移相差8Br1/E 。在轴对称问题中，这是不可能的，因为(r1, ? 1)与(r1, ? 1+2?) 是同一点不可能有不同的位移。于是可以断言，必须B=0。 令B=0，即可由式(b)求得A和2C 将常数A、B、C的已知值代入式(4-14)，整理即得拉密问题的解答 (4-16) 其分布情况见下图。 位移分量 将常数A、B、C的已知值代入式(4-15)，得位移分量 1．圆筒只受内压力qa的作用，则qb=0，解答(4-16)简化为 特例 可见，?r总是压应力，??总是拉应力，应力分析大致如图所示。 ?r 和??的最大值均发生在内表而处，即： 2．圆筒只受外压力qb作用，则qa=0，而解答(4-16)简化为 可见，?r 和??总是压应力。应力分布大致如右图所示。最大压应力发生在内表面处，其值为 §4-7 压力隧洞 图示为一理在无限大弹性体中的压力隧洞(或坝内水管)，其上受有均匀分布的压力q，试求其应力分量。 因为结构轴对称，荷载轴对称。所以，应力分布仍然是轴对称比表达式(4-14)仍然适用，而且系数B仍等于零，因而位移是单值的。 又因为圆筒和无限大弹性体不一定具有相同的弹性常数所以两者的应力表达式中的系数A和C不一定相同。现在，取圆筒的应力表达式为 取无限大弹性体的应力表达式为 建立四个方程来求解常数A、C、A’、C’。 首先，在圆筒的内表面，有边界条件(? r)r=a=-q，由此得 其次，在距商圆筒很远之比按照圣维南原理，应当几乎没有应力，于是有 由此得 再其次，在圆筒和无阻大弹性体的接触面上，应当有 于是由式(c)、(d)及(f)得 (f) (g) 上述条件仍然不足以确定四个常数下面再来考虑位移。 应用式(4-16)中的第一式，并注意这里是平面应变问题，而且B=0，可以写出圆筒和无限大弹性体的径向位移公式 式个E和?是圆筒的弹性常数，E’和?’是无限大弹性体的弹性常数，将上式稍加简化，得(h) 在接触面上，圆筒和无限大弹性体应当具有相问的位移，因此有 将式( h)代入，得 (h) 因为这一方程在接触面上的任意一点都应当成立，也就是在? 取任何数们时机应当成立，所以方程两边与?无关的项必须相等(当然，两边cos?沟系数及sin?的系数也必须相等)。于是得 经过简化并应用式(f)，得 (i) 式中 由方程(e)、(g)、(i