毕业设计（论文）--一类四阶非线性系统的全局稳定性.docVIP

届 别 2009届 学 号 200712050143 毕业设计（论文） 一类四阶非线性系统的全局稳定性 姓 名 系 别 专 业 数学系、数学与应用数学 导 师 姓 名、职 称 　教授 完 成 时 间 2009年4月 目 录 摘要 I Abstract II 1引言 1 2 准备工作 1 3 主要结论 2 4 讨论 7 5 总结 8 参考文献 9 致谢 10  摘 要 本文应用类比法构造了李雅普诺夫函数,研究了一类四阶非线性系统的全局渐近稳定性.给出了该系统零解全局渐近稳定的充分条件. 关键词：非线性系统；全局渐近稳定；李雅普诺夫函数 ABSTRACT In this paper, by using the analog method constructed Liapunov functional; we have studied the global asymptotic stability for a class of the fourth order nonlinear system. A sufficient condition is obtained to ensure the global asymptotic stability of the system. Key words：Nonlinear; Global asymptotic stability; Liapunov functional  1 引言 众所周知，研究非线性系统的稳定性是非常重要的. 文献研究了的稳定性. 文献研究了四阶常系数非线性系统稳定性，并且推广到.文献研究了 全局渐近稳定性. 目前关于更一般的四阶非线性系统的稳定性的结果尚少见，本文研究了四阶非线性系统全局稳定性，通过类比法构造Liapunov函数，建立了其零解的全局渐近稳定的判据.它推广了上述四阶非线性系统的研究成果，具有一般性. 2准备工作 非线性系统 （1） 将（1）写成如下形式 或 （2） 用适当的代换及加法，将（2）化为如下形式 …… 根据E.T.Wall的能量度量积分该系统的Liapunov函数，可按析线积分求得 即 　…………… 当系统（1）为如下系统时 （3） 则此时系统（3）的Liapunov函数为 整理得 （4） 把（4）配方得 （5） 引 理 如果存在定正函数，其通过非线性系统（1）的全导数为常负，但使的点的集中除零解之外并不包含非线性系统（1）的整条正半轨线，则非线性系统（1）的零解是全局渐近稳定的． 3主要结论 考虑下列四阶非线性系统 （6） ，具有连续的二阶偏导数且. 作变换： ， ， ， 将系统（3）化为等价的系统为： （7） （7）对应的线性系统为 根据（5）我们取Liapunov函数： （8） 把，， 代入（8）式得到系统（7）的Liapunov函数 （9） 对（9）求导得 （10） 将（10）整理得 化简 （11） 定 理 若时，与常数，、具有连续的二阶偏导数,对、满足： Ⅰ. ， Ⅱ. Ⅲ. Ⅳ. ，且 Ⅴ. ，且 Ⅵ. ，且 Ⅶ. ，且 则在域，内，系统（6）的零解是全局渐近稳定的. 证 明 首先，证明是定正的. 事实上， ， 的每一项都是非负的，且当时， 从而 所以是定正的. 其次， （12） 根据定理的条件 （1） ， （2） （3） （4），且 （5），且 （6），且 （7），且 可知 下证 不包含除以外系统（3）的整条轨线. 事实上，由定理知时 即 而 所以 把代入（12）式 即 所以 把代入系统（7）的第4式得. 最后证明，系统（6）的所有正半轨线是有界的. 在域，内.考虑，，构成区域.显然是有界区域，对任意给定的可以选取,使得