概率论与数理统计第五章课后答案.docxVIP

概率与数理统计 习题五 答案1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为.估计P{10X18}.【解】设表示第次掷的点数，则 从而 又独立同分布.从而 所以 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】设至少要生产n件产品才能满足要求，令 ，则 相互独立且服从相同的（0—1）分布，现要求n,使得根据独立同分布的中心极限定理得整理得 查表 n≥268.96,故取n=269.3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.【解】设需要供应车间至少个单位的电能，这么多电能最多能同时供给m部车床工作，我们的问题是求。把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中，用表示正在工作的机床数目，则,根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 查表知 ,m=151.所以供应电能151×15=2265（单位）.4. 一加法器同时收到20个噪声电压（），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记，求P{V＞105}的近似值.【解】易知: 。由独立同分布的中心极限定理知，随机变量于是 即有 P{V105}≈0.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）.由棣莫弗—拉普拉斯定理得6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问 接受这一断言的概率是多少？（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问 接受这一断言的概率是多少？【解】设 ，则相互独立且服从相同的分布，因此 (1)当时， ，由 棣莫弗—拉普拉斯定理得 (2) 当时， ，由棣莫弗—拉普拉斯定理得 7. 用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.【解】设1000件中废品数为X，则，， ，E(X)=50，D(X)=47.5.由拉普拉斯局部极限定理得 8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命服从参数（单位：）的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.【解】根据题意可知 且 ，故 根据独立同分布的中心极限定理得9. 上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.【解】设一年中至少需要n件电子器件，则 E(Ti)=10，D(Ti)=100， ， 根据独立同分布的中心极限定理得即 故所以年计划中一年至少需要272a元.10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若 学校共有400名学生，设 各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.（1）求参加会议的家长数X超过450的概率？（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.【解】（1） 以记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）, D(Xi)=0.19, i=1,2,…,400.而,由独立同分布的中心极限定理得于是 (2) 以记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）.要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 P{X≤5000}. 由 棣莫弗—拉普拉斯定理得12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：（1）至少有多少个人能够按时进入掩蔽体？（2）至多有多少个人能够按时进入掩蔽体？【解】引入新变量 ，则相互独立，且服从相同的分布。记 ，则 (1) 设 至少有m人能够按时进入掩蔽体，要求 P{m≤X}≥0.95， 由棣莫弗—拉普拉斯定理知：从而 故 所以 m=900-15.65=884.35≈884人(2) 设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{X≤M}≥0.95.查表