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第十一章 两指标间的直线回归 (linear regression) 11.1 概念 11.2 直线回归方程的建立 11.3 回归系数和回归方程的意义及性质 11.4 回归系数的假设检验 11.5 应变量总变异的分解 11.6 回归问题的方差分析 Regression 释义 11.1 概念 回归：子代身 高向平均水平的靠拢 用自变量X推算因变量Y 估计值（条件平 均值）的方法 直线回归方程： a：回归直线在Y轴上的截距 b：回归系数，回归直线的斜率 b0，表示Y随X的增加而增加； b0，表示Y随X的增加而减少； b=0，表示回归直线与X 轴平行，即X与Y无回归关系。 11.2 直线回归方程的建立 基本思想：使各实测值 Y 与回归直线上对应的估计值 之差的平方和 为最小， 按这个准则导出 a、b 的最小二乘估计(least square estimation)。 的意义 残差平方和 (residual sum of squares). 综合表示点距直线的距离。 在所有的直线中，回归直线的残差平方和是最小的。(最小二乘) =13.44， =5.7266，lXX=24.9040，lYY=1.5439，lXY=5.9396 10名3岁男童体重与体表面积散点图 11.3 回归方程的意义及性质 b：自变量增加一个单位时，应变量平均改变的量 b=0.2385(103cm2/kg)，表示体重增加1(kg)，则体表面积平均递增0.2385(103cm2 ) a : 当X=0时，应变量的估计值 3岁男童的体重不可能等于0，a=2.5212没有实际意义 给定Ｘ时Ｙ的估计值（条件均数） X=12(kg)时，得=5.3832(103cm2)， 体重为12(kg)的3岁男童，估计其平均体表面积为5.3832(103cm2) 回归直线的有关性质 (1) 直线通过均点 (2) 直线上方各点到直线的纵向距离之和 = 直线下方各点到直线的纵向距离之和 即: (3) 各点到该回归线纵向距离平方和较到其它任何直线者为小。 11.4 回归系数的假设检验 回归系数的检验用 t 检验。检验假设为： H0：总体回归系数?＝0； H1：总体回归系数?≠0。 ? =0.05 11.5 因变量总变异的分解 Y的总变异分解 Y的总变异分解 未引进回归时的总变异： (sum of squares about the mean of Y) 引进回归以后的变异(剩余): (sum of squares about regression) 回归的贡献，回归平方和： (sum of squares due to regression) 11.6 回归问题的方差分析 H0：体重与体表面积间无直线回归关系； H1：体重与体表面积间有直线回归关系。 前已算得：lXX=24.9040，lYY=1.5439，lXY=5.9396 SS总= lYY=1.5439， SS剩 = 1.5439-5.93962/24.9040=0.1273 SS回 = SS总-SS剩=1.5439-0.1273=1.4166 回归直线的绘制 计算不太接近的两点的Y值： X=12kg时 =2.5212+0.2385×12=5.3832(103cm2) X=15kg时 =2.5212+0.2385×15=6.0987(103cm2) 11.7 直线回归的区间估计 1. 回归系数 ? 的区间估计 的可信区间与Y的容许区间 X=12时， 的可信区间为： 5.2578~5.5077(103cm2), 表示：体重为12kg的3岁男童，估计其平均体表 面积为5.3832，95％可信区间为(5.2587，5.5077) (103cm2)。 X=12时，Y的容许区间为：5.0666~5.6998(103cm2), 表示：体重为12kg的3岁男童， 估计有95％的人其体表面积在5.0666~5.6998 (103cm2)之间。 可信区间与容许区间示意(confidence band tolerance band) 给定X时，Y是正态分布、等方差示意图 给定X时，Y是正态分布、不等方差示意