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与角有关的辅助线（习题）例题示范例1：已知：如图，∠BED=∠B+∠D．求证：AB∥CD．①读题标注：②梳理思路：要证AB∥CD，我们需要找相关的同位角、内错角或同旁内角．观察图形发现，AB，CD没有截线，故需要构造截线，然后证明．可尝试延长BE交CD于点G．③过程书写：证明：如图，延长BE交CD于点G．∵∠BED是△DEG的一个外角∴∠BED=∠DGE +∠D∵∠BED=∠B+∠D∴∠DGE=∠B∴AB∥CD巩固练习已知：如图，a∥b，则∠1+∠2-∠3=_________．已知：如图，∠B+∠E+∠D=360°．求证：AB∥CD．已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：∠3=∠4．已知：如图，AB∥CD．求证：∠1+∠3?∠2=180°．已知：如图，∠3=∠1+∠2．求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．思考小结已知：如图，在四边形ABDC中．求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C．（1）请根据图下方的描述在图上作出辅助线，并进行证明（不需要写过程）；延长BD交AC于点E延长CD交AB于点E连接AD并延长AD到点E连接BC过点D作EF∥AB交AC于点E过点D作EF∥AC交AB于点E（2）根据上面的证明方法可以总结出辅助线的作用：①_____________________________________；②_____________________________________．【参考答案】巩固练习180°证明：如图，过点E作EF∥AB．∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠B+∠BED+∠D=360°（已知）∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=180°（等量代换）∴∠FED+∠D=180°（等式的性质）∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）证明：如图，延长BE交CD于点G．∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠5（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠2=∠5（等量代换）∴BG∥CF（同位角相等，两直线平行）∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）证明：如图，延长EA交CD于点F．∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等）∵∠4是△CEF的一个外角（外角的定义）∴∠4=∠2+∠ECF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠?+∠ECF=180°（平角的定义）∴∠ECF=180°-∠?（等式的性质）∴∠4=∠2+180°-∠?（等量代换）∴∠4+∠3-∠2=180°（等式的性质）∴∠1+∠3-∠2=180°（等量代换）（方法不只一种）证明：如图，延长EG交CF于点H．∵∠3是△GFH的一个外角（外角的定义）∴∠3=∠2+∠GHF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠3=∠1+∠2（已知）∴∠GHF=∠1（等式的性质）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠BMD+∠MNC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BMD是△ABM的一个外角（外角的定义）∴∠BMD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠MNC是△CDN的一个外角（外角的定义）∴∠MNC=∠C+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BMD+∠MNC=∠A+∠B+∠C+∠D（等式的性质）∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°（等量代换）（方法不只一种）思考小结（1）作辅助线，证明略；（2）①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转化为基本图形．