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与角有关的辅助线（讲义）课前预习如图，∠AOB=130°，OC⊥OB于点O，求∠AOC的度数．解：如图，∵OC⊥OB（已知）∴____________（垂直的定义）∵∠AOB=130°（已知）∴∠AOC=______?______=______?______=______（等式的性质）知识点睛为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成________．辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立______和______之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况．辅助线的作用：①________________________________________________；②________________________________________________．添加辅助线的注意事项：____________________________．精讲精练如图，AB∥CD，∠E=27°，∠C=52°，则∠EAB的度数为______________．如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CD⊥CE．求证：AB∥CD．已知：如图，直线AB∥CD，∠EFG=130°，∠DGH=40°．你认为EF⊥AB吗？请说明理由．已知：如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点．求证：∠EPF=∠AEP+∠CFP．如图，l1∥l2，∠1=105°，∠2=40°，则∠3=___________．已知：如图，AB∥EF，∠B=25°，∠D=30°，∠E=10°，则∠BCD=________．已知：如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．求证：β=2α．已知：如图，CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC．求证：AB∥GF．已知：如图，在四边形ABDC中．求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C．【参考答案】课前预习∠COB=90°∠AOB-∠COB130°-90°40°知识点睛虚线已知，未知①把分散的条件转为集中②把复杂的图形转化为基本图形明确目的，多次尝试精讲精练79°证明：如图，延长DC到点G．∵CD⊥CE（已知）∴∠ECG=90°（垂直的定义）∵∠ACE=136°（已知）∴∠ACG=∠ACE-∠ECG=136°-90°=46°（等式的性质）∵∠BAF=46°（已知）∴∠ACG=∠BAF（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）解：EF⊥AB，理由如下：如图，延长EF交CD于点M．∵∠DGH=40°（已知）∠DGH=∠FGM（对顶角相等）∴∠FGM=40°（等量代换）∵∠EFG是△FGM的一个外角（外角的定义）∴∠EFG=∠FGM+∠FMG（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠EFG=130°（已知）∴∠FMG=∠EFG-∠FGM =130°-40°=90°（等式的性质）∵AB∥CD（已知）∴∠BNE=∠FMG=90°（两直线平行，同位角相等）∴EF⊥AB（垂直的定义）证明：如图，过点P作MN∥AB．∵CD∥AB（已知）∴AB∥MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1=∠2， ∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠2+∠4=∠1+∠3（等式的性质）即∠EPF=∠AEP+∠CFP115°45°证明：如图，过点C作MN∥ED．∵AB∥ED（已知）∴MN∥AB∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）∴∠1+∠D=180°，∠2+∠B=180°，∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵α=∠A+∠E（已知）∴α=180°（等量代换）∵β=∠B+∠C+∠D（已知）∴β=∠B+∠1+∠2+∠D=180°+180°=360°（等式的性质）∴β=2α（等式的性质）证明：如图，延长CB交FG于点M，延长FE交CM于点N．∵CD∥EF（已知）∴∠2=∠FNM（两直线平行，同位角相等）∵∠BMG是△FMN的一个外角（外角的定义）∴∠BMG=∠1+∠FNM =∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1+∠2=∠ABC（已知）∴∠BMG=∠ABC（等量代换）∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）证明：如图，延长BD交AC于点E．∵∠1是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠1=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠BDC是△CDE的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠1+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠A+∠B+∠C（等量代换）