数学模型在计算机视觉与图像中的应用（论文）文献翻译.docVIP

外文资料翻译译文 数学模型在计算机视觉与图像中的应用 ——贝叶斯推理 2.1 贝叶斯推理 2.1.1贝叶斯定理 推理当中的未知量一般被称为自然状态，而未知量一般被用来表示所以可能的状态的集合。通常，在实验中获得的结果的信息，是实验按照一定的概率分布具有作为未知参数的分布的设计得到的。在这种情况下，被称为参数，而被称为参数空间。 当一个经过统计调查得到的信息，结果（随机变量）将被标记为X。通常X将是一个向量，X =(X1,…,Xn)。一个特定的实现将被标记为X。可能的结果集的样本空间，将被标记为X，X将被假定为是一个连续的或离散型的随机变量的条件密度，，当是自然的真实状态。 X的函数h (·)的期望，对于一个给定的值，一般将其定义为 E= 在贝叶斯推理中使用的另一种类型的信息是关于的先验信息。而先验信息的一个有用的方法是讨论在集上的概率分布情况。关于的先验信息很少是非常精确的。而符号Pr(θ)一般被用来表示的先验密度。 贝叶斯分析方法将关于未知参数的先验信息与样本信息综合后得出后验信息，然后根据后验信息去推断未知参数。 未知参数的后验分布（或简称后验）一般用来表示，被定义为给定的样本观测数据x的条件分布。注意：未知参数和X具有共同的（主观）密度 而X还具有边际的（无条件）密度 （2.1） 因此，假设m(x)0，我们可以得出 （2.2） 后验这个名词表述的是 的作用的意思，就像先验分布中先验体现了对早期实验的看法，所以反映了在观测了样本x后更新后（后验）的看法。换句话说，后验分布结合了先验关于的看法和包含在样本x中的的信息，提供了关于的最终看法的复合图片。注意：最大似然原理隐含假设条件，在那种情况下，（给定的x）是没有的先验信息的，而是包含在中。 一些传统的技术可以应用到后验分布来估计。最常用的是最大似然估计，通过计算最大似然函数的的值来估计。类似的贝叶斯估计的定义如下： 定义2.1.1. 广义最大似然或者最大后验概率的估计是最大的模， ，（的最大值，可以认为是一个关于的函数）。 通常在计算后验分布的时候，足够的概念效果更好。 定义2.1.2. 假设X是一个随机变量，其分布依赖于未知参数，X的函数T假设为的一个充分的统计量，则后验分布是和的一个函数。 定理2.1.3.（莱曼的因式分解）T是的一个充分统计量，当且仅当条件分布是形如和的两个函数的乘积的时候条件成立。 证明：如果=，，后验就是 = （2.3） = （2.4） = （2.5） 和的一个函数。 相反，如果T是的一个充分统计量 = 假设和 因此 = 2.1.2图像处理中的应用 虽然有明显的不同之处，大多数现有的图像重建和修复方法都有一个共同的估算结构。用一句话概括这个关键点就是：规范化。一般这些方法分为两部分：即将重建的图像的可能信息的先验模型和数据如何理解连续的先验图像的信息。 考虑所有能想到的可能数据d，所有的信号都包含在空间D里。第一个假设是性质决定其密度在一个合适的概率分布-代数D，而现实中，我们感知的数据是这些分布的速记样本。 第二个假设那些未知的图像或者重建的f 的状态以及被隐藏在感知到的D × F空间中的密度，尽可能的描述描述观测到的f状态的数据和对象。推断出我们感知到的数据d中的f的状态。为此，我们需要用到贝叶斯定理。作为先验，作为数据模型，描述观测到处于f状态的对象的数据d的可能性。两种可能的分布和显然决定D × F的联合分布。 MAP估算 （2.6） （2.7） 和其他一些先验的约束。 贝叶斯方法需要构造先验分布和查找算法，来计算机化贝叶斯重建。包括指定先验和数据模型。 我们注意到D × F中的概率分布能让我们做更多的事。我们可以用来定义MAP估算；还可以直接当样本使用，确定一些隐藏的变量f。利用这种分布构造样本信号d，得出对象或事件的各种结构。一个判断先验是否捕捉一些类中的所有样式的信号就是观测这些样本是否真实的反映现实。因此，Grenadier认为对信号样式的分析和信号的合成是不能割裂的两个问题，比如：计算机视觉不能与计算机图形分离，语音识别与语言生成。这样就组成了模式理论的另一部分。理论和按要求的步骤的约束，明确了模型的通用转换，因此可以用来产生和分析信号。 2.1.3 MDL和贝叶斯方法 另一种能够得到相同结果的方法就是信息理论方法 [Ris89]，[Mum94]（第193页）。 标准的MDL（最短描述长度）思想是编码d的方法，而不是以任何特定的原始形式感知信号d作为值的表，找到编码d的方法，以位为单位最小化期望长度：i.e。绝大多数的d以压缩的形式模式采取由最多d具有以压缩形式进行编码的模式的好处，我们认为编码方案设计选择各自辅助变量f，然后使用这些F（F可能确定一个特定