自考高等数学(工本)串讲笔记.docVIP

考试大纲说明 一、本课程的基本要求与重点 本课程的基本要求为： １．获得一元函数微积分学的系统的基本知识、基本 理论和基本方法． ２．获得线性代数初步知识． 本课程的重点是： 一元函数的导数和积分的概念、计算及其应用． 二、课程考核要求 １．函数（考核要求） （１）清楚一元函数的定义，理解确定函数的两个基 本要素 ——— 定义域和对应法则，知道什么是函数的 值域． （２）清楚函数与其图形之间的关系． （３）会计算函数在给定点处的函数值． （４）会由函数的解析式求出它的自然定义域． （５）知道函数的三种表示法———解析法、表格法、图 像法及它们各自的特点． （６）清楚分段函数的概念． ·１·第一部分 （７）清楚函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的 含义． （８）会判定比较简单的函数是否具有上述特性． （９）知道函数的反函数的概念，清楚单调函数必有 反函数． （１０）会求比较简单的函数的反函数． （１１）知道函数的定义域和值域与其反函数的定义 域和值域之间的关系． （１２）清楚函数与其反函数的图形之间的关系． （１３）清楚函数的复合运算的含义及可复合的条件． （１４）会求比较简单的复合函数的定义域． （１５）会作多个函数按一定顺序的复合；会把一个函 数分解成几个简单函数的复合． （１６）知道什么是基本初等函数，熟悉其定义域，基 本特性和图形． （１７）知道反三角函数的主值范围． （１８）知道初等函数的构成． （１９）会对比较简单的实际问题通过几何、物理或其 他途径建立其中蕴含的函数关系． ２．极限和连续（考核要求） （１）知道数列的定义、通项及其在数轴上的表示． （２）知道单调数列和有界数列，会判别比较简单的 数列的单调性和有界性． （３）理解数列收敛的含义及其几何意义． ·２·高等数学（工专） （４）知道级数的定义，了解级数的收敛和发散的 概念． （５）知道级数收敛的必要条件． （６）会判断等比级数的敛散性并在收敛时求出 其和． （７）理解各种函数极限的含义及其几何意义． （８）理解函数的单侧极限，知道函数极限与单侧极 限之间的关系． （９）熟知极限的四则运算法则，并能熟练地运用． （１０）熟知两个重要极限，并能熟练运用． （１１）理解无穷小量的概念． （１２）理解无穷小量与变量极限之间的关系． （１３）掌握无穷小量的性质． （１４）理解无穷大量的概念，知道它与无穷小量的 关系． （１５）会判别比较简单的变量是否为无穷小量或无 穷大量． （１６）清楚无穷小量之间高阶、同阶、等价的含义． （１７）会判断两个无穷小量的阶的高低或是否等价． （１８）清楚函数在一点连续和单侧连续的定义，知道 它们之间的关系． （１９）知道函数在区间上连续的定义． （２０）知道连续函数经四则运算和复合运算后仍是 连续函数． ·３·第一部分 （２１）知道单调的连续函数必有单调并连续的反 函数． （２２）知道初等函数的连续性． （２３）清楚函数在一点间断的定义和两类间断点． （２４）会找出函数的两类间断点． （２５）会判别分段函数在分段点处的连续性． （２６）知道闭区间上连续函数必有界，并有最大值和 最小值． （２７）知道闭区间上连续函数的介值定理与零点 定理． （２８）会用零点定理判断函数方程在指定区间中根 的存在性． ３．一元函数的导数和微分（考核要求） （１）熟知函数的导数和左、右导数的概念，知道它们 之间的关系． （２）知道函数在一点的导数的几何意义． （３）知道导数作为变化率的实际意义． （４）知道函数在区间上可导的含义． （５）知道曲线在一点处切线和法线的定义并会求它 们的方程． （６）清楚函数在一点连续是函数在该点可导的必要 条件． （７）能熟练运用可导函数的和、差、积、商的求导 法则． ·４·高等数学（工专） （８）熟练掌握复合函数的求导法则． （９）对于由多个函数的积、商、方幂所构成的函数， 会用对数求导法计算其导数． （１０）清楚反函数的求导法则． （１１）熟记基本初等函数的求导公式并能熟练运用． （１２）理解由函数方程所确定的一元函数（隐函数） 的含义． （１３）会求由一个函数方程所确定的隐函数的导数． （１４）知道高阶导数的定义，了解二阶导数的物理 意义． （１５）会求初等函数的二阶导数． （１６）理解由参数方程所确定的函数的含义． （１７）会求参数式函数的一阶与二阶导数． （１８）了解微分作为函数增量的线性主部的含义． （１９）清楚函数的微分与导数的关系及函数可微与 可导的关系． （２０）熟知基本初等函数的微分公式． （２１）熟知可微函数的和、差、积、商及复合函数的微 分法则． （２２）会求函数的微分． ４．微分中值定理和导数的应用（考核要求） （１）能正确陈述罗尔定理，知道其几何意义． （２）能正确陈述拉格朗日中值定理并