数列的极限教学课件.pptVIP

函数与极限 一、概念的引入 二、数列 四、数列极限的性质 五.小结 * * 1-1 内容回顾 2.函数的概念与特性 函数的四个基本特性 3.几种常见、特殊函数 基本初等函数 初等函数 分段函数 反函数 复合函数 1.映射： 定义、三要素、四分类 §2 数列的极限 一 概念的引入 二 数列 三 数列的极限 四 数列极限的性质 五 小结 一变量：1、1/2、1/3、1/4、1/5、1/6?? 1/n、?? 引例1、 变量的变化趋势： 在其变化过程中越来越 接近0. 此变量的极限是0。 引例2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 例如 2.表示方法 （1）用数轴上的点表示数列 （2）用平面上的点表示： xn n · · · · · 1 2 n个 三、数列的极限 1.定义 直观上：{xn},当n无限增大时，xn无限接近于一 个常数，称此常数为数列{xn} 的极限。 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻 划它. 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： N往往是?的函数， 它随着?的给定而确定。 2.几何解释: 例1 证 所以, 所以, 例2 证 结论:常数列的极限等于同一常数. 说明: 1.用定义证数列极限存在时,关键是由任意给定 寻找N： 2.用定义证数列极限存在的一般步骤： 3.N不唯一。取N=[g(?)]+任一正整数，都可保证 n g(?),故N不唯一，但不必要求最小的N. 1）由|xn-a|?解出ng(?), g(?)是?的函数 2）取N=[g(?)], ??0,要使|xn-a|?，即：……，只要使ng(?), 取N=[g(?)],当nN时， |xn-a|? ，∴ …… 4.当由|xn-a|?直接求解n不好解时，可适当放大不等式，如使：|xn-a|f(n) ?,由f(n) ?求解n。 例3 证 1.有界性 例如, 有界 无界 定理1 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：1.有界性是数列收敛的必要条件， 2.推论 无界数列必定发散. 非充分。 反例：{(-1)n+1} 有界但发散（见例4） 3.掌握本证明中加一项、减一项的方法。证明方 法不唯一。 另：由a-1xna+1,取M=max{|x1|… |xn|,|a-1|,|a+1|} 2.唯一性 定理2 收敛数列的极限唯一. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 例4 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 定理3 证 推论 若数列{xn}从某项起xn?0(或?0), 注： 如推论： 在xn0的情况下，可能有a=0 注意定理及推论中条件和结论的不等号 3.保号性 则a?0(或?0). 4.子数列的收敛性 定义 在数列{xn}中任意抽取无限项，并保持其在 原数列中的先后顺序不变，这样得到的一新数列 称为原数列{xn}的一个子数列. 定理4 若{xn}收敛于a，则其任一子数列也收敛 于a. 注：1.由定理4,若{xn}有两个分别收敛于a≠b的子数列，则{xn} 发散。 由此给出判定数列发散的一种方法。 如：{(-1)n+1} 2.有收敛子列的数列，敛散性不一定。 即收敛数列一定有收敛子列，发散数列也可能有， 如上例。关键由子数列是否收敛于同一极限来判 定原数列的敛散性。 1.数列极限的概念: 2.收敛数列的性质: 有界性、唯一性、保号性、 收敛数列与子数列的关系 极限思想, 精确定义(?-N语言), 几何意义 下一次 §3 P30 2.3(2、3、4).5. * *