2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第四章　三角函数、解三角形+第7讲　解三角形应用举例+Word版含答案.docVIP

第7讲　解三角形应用举例 一、选择题 1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB＝75°，CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　) A. km B. km C. km D．2 km 解析　如图， 在ABC中，由已知可得ACB＝45°，＝， AC＝2×＝(km)． 答案　A 2．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里 解析　 如图所示，易知， 在 ABC中，AB＝20，CAB＝30°，ACB＝45°， 根据正弦定理得＝， 解得BC＝10(海里)． 答案　A 3．(2017·合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　) A．a km B. a km C.a km D．2a km 解析　由题图可知，ACB＝120°，由余弦定理， 得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosACB＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km)． 答案　B 4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为(　　) A．8 km/h B．6 km/h C．2 km/h D．10 km/h 解析　设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B. 答案　B 5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD＝15°，BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　) A．5 B．15 C．5 D．15 解析　在BCD中，CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得＝， 所以BC＝15. 在RtABC中， AB＝BCtan ACB＝15×＝15. 答案　D 二、填空题 6．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分． 解析　由已知得ACB＝45°，B＝60°， 由正弦定理得＝， 所以AC＝＝＝10， 所以海轮航行的速度为＝(海里/分)． 答案　 7．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 解析　如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)， 在MON中，由余弦定理得， MN＝ ＝＝10(m)． 答案　10 8．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m. 解析　如图，由已知可得BAC＝30°，CAD＝30°，BCA＝60°，ACD＝30°，ADC＝120°.又AB＝200 m，AC＝(m)． 在ACD中，由余弦定理得， AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2， CD＝AC＝(m)． 答案　 三、解答题 9．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． 解　(1)依题意知，BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，BCA＝α.在ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosBAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28. 所以渔船甲的速度为＝14海里/时． (2)在ABC中，因为AB＝12，BAC＝120°，BC＝28，BCA＝α，由正弦定理，得＝， 即sin α＝＝＝. 10．(2015·安徽卷)在ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长． 解　设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c， 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosBAC＝(3)2＋