2019届高考数学（北师大版文）复习讲义：第三章　导数及其应用+高考专题突破一+Word版含答案.docVIP

高考专题突破一　高考中的导数应用问题 【考点自测】 1．若函数f(x)＝2sin x(x∈[0，π])的图像在点P处的切线平行于函数g(x)＝2的图像在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为(　　) A. B．2 C. D. 答案　A 解析　f′(x)＝2cos x∈[－2,2]， g′(x)＝＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)． 当两函数的切线平行时，xp＝0，xQ＝1. 即P(0,0)，Q，∴直线PQ的斜率为. 2．(2017·全国Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 答案　A 解析　函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1， 则f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1 ＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]． 由x＝－2是函数f(x)的极值点，得 f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0， 所以a＝－1. 所以f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2)． 由ex－1＞0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′(x)＝0，且当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0； 当x＞1时，f′(x)＞0. 所以x＝1是函数f(x)的极小值点． 所以函数f(x)的极小值为f(1)＝－1. 故选A. 3．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)g′(x)，则当axb时，有(　　) A．f(x)g(x) B．f(x)g(x) C．f(x)＋g(a)g(x)＋f(a) D．f(x)＋g(b)g(x)＋f(b) 答案　C 解析　∵f′(x)－g′(x)0，∴(f(x)－g(x))′0， ∴f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数， ∴当axb时f(x)－g(x)f(a)－g(a)， ∴f(x)＋g(a)g(x)＋f(a)． 4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上是增加的，则实数m的取值范围为____________． 答案　 解析　∵f′(x)＝6x2－6mx＋6， 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立， 即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立． 令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－， ∴当x2时，g′(x)0，即g(x)在(2，＋∞)上是增加的，∴m≤2＋＝. 5．(2017·江苏)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－ ＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)， 所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数． 因为f(a－1)＋f(2a2)≤0， 所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)． 因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2 ＝3x2≥0，当且仅当x＝0时“＝”成立， 所以f(x)在R上是增加的， 所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，所以－1≤a≤. 题型一　利用导数研究函数性质 例1 (2018·沈阳质检)设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间； (2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围． 解　(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a， 可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)， 所以g′(x)＝－2a＝. 当a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)是增加的； 当a＞0，x∈时，g′(x)＞0，函数g(x)是增加的，x∈时，g′(x)＜0，函数g(x)是减少的． 所以当a≤0时，函数g(x)的递增区间为(0，＋∞)； 当a＞0时，函数g(x)的递增区间为， 递减区间为. (2)由(1)知，f′(1)＝0. ①当a≤0时，f′(x)是增加的， 所以当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)是减少的， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增加的， 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意； ②当0＜a＜，即＞1时，由(1)知f′(x)在是增加的． 可得当x∈(0,1)时，f′(x)＜0， 当x∈时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(0,1)上是减少的，在上是增加的． 所以f(x)在x＝1处取得极小值，不符合题意； ③当a＝，即＝1时，f′(x)在(0,1)上是增加的， 在(1，＋∞)上是减少的， 所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)是减少的，不符合题意； ④当a＞，即0＜＜1时， 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增加的， 当x∈(1，＋∞)