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数列 一.知识回顾 （一）1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 等差数列 等比数列 定义 通项公式 =+（n-1）d=+（n-k）d=+-d 求和公式 中项公式 A= 推广：2= 。推广： 性质 1 若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则。 2 若成A.P（其中）则也为A.P。 若成等比数列 （其中），则成等比数列。 3 ． 成等差数列。 成等比数列。 4 ， 5 对于任一数列,其通项和它的前n项和之间的关系是 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证都成立。 3. 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值. (2)当0,d0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （二）、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 　　　3.错位相减法:适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 5.常用结论 1）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 例1、（1）设等差数列的前n项之和为Sn，已知a3=12，S120，S130，求公差d的取值范围。 （2）指出S1，S2，S3，…Sn中哪一个值最大，并说明理由。 解：（1），，即， 由,代入得：。 （2）解一：由，可知：，所以S6最大。 解二、，由得 又抛物线开口向下，所以S6最大。 例2．已知是首项为的等差数列且满足，等比数列的前三项分别为，，． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和． 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，首项，，，，为等比数列 即解得 又，即数列为单调递增数列 ， ，，= ，，，，， （Ⅱ） 变形得 例3．已知等比数列中，分别是某等差数列的第5项，第3项，第2项，且，公比； （1）求； （2）设，求数列的前n项和. 解：（Ⅰ）依题意得 又 （Ⅱ） 例4、已知数列是等差数列，；数列的前n项和是，且． (Ⅰ) 求数列的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列是等比数列； (Ⅲ) 记，求的前n项和 解：(Ⅰ)设的公差为，则：，， ∵，，∴，∴．　 ∴． （Ⅱ）当时，，由，得． 当时，，， ∴，即．　 ∴．　　　 ∴是以为首项，为公比的等比数列． （Ⅲ）由（2）可知：． 　 ∴．　∴． ∴． ∴ ∴ 一.选择题 (1) 已知等差数列中，的值是 ( ) A 15 B 30 C 31 D 64 (2) 在各项都为正数的等比数列｛an｝中，首项a1=3 ，前三项和为21，则a3+ a4+ a5=( ) A 33 B 72 C 84 D 189 (3)已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则= ( ) A –4 B –6 C –8 D –10 （4）如果数列是等差数列，则 （ ） A B C D (5) 已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2, a1·a2·a3·…·a30=245, 则a1·a4·a7·…·a28= ( ) A 25 B 210 C 215 D 220 (6) 是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，则序号等于 ( ) A 667 B 668 C 669