北大高数GS42.pptVIP

§3．2 柯西中值定理与洛必达法则 一、柯西中值定理 证: 作辅助函数 二、洛必达法则 * 二、洛必达法则 一、柯西中值定理 “零比零”型未定式的定值法 “无穷比无穷”型未定式的定值法 其它类型未定式的定值法 函数 f(x)及g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可 导，且g ?(x)在(a, b)内恒不为零，那么在(a, b)内至少有一点x ， 使等式 y x O A B g(a) g(b) x=g(t) y=f(t) g(x) C f(a) f(b) 定理的几何意义： 注:这里,切线的斜率用 参数方程来表示了. 成立. 且 使 即 由罗尔定理知, 至少存在一点 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? 两个 ? 不 一定相同 错! 上面两式相比即得结论. 分析:要证 由拉格朗日中值定理, 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在， 其它类型的未定式：0·?、? ? ?、00、1?、?0. 例如，下列极限都是未定式： 0 0 －或 ? ? －. 这种极限称为未定式.这种类型的未定式记为 也可能不存在， 定理 如果函数f(x)与g(x)满足如下条件： (1)当x?a时，函数极限都为零(或都为无穷大)； (2)函数在点a的某去心邻域内都可导且g?(x)?0； (2)当|x|N时f ?(x)及g ?(x)都存在且g ?(x)?0； 说明： 在上述定理中，把x?a换成x??， 把条件(2)换成 结论仍成立. 关于未定型的极限,我们有下列的洛必达法则: 洛必达法则的简要证明： 令f(a)?g(a)?0，则f(x)及g(x)在a的某一邻域内连续. 设x是这邻域内的一点，那么由柯西中值定理, 显然当x?a时x?a.于是 仅对x?a时，函数的极限都为零的情况加以证明. . 其他情况的证明方法基本类似,见课本p185,p186. “零比零”型未定式的定值法： 例2 求极限 解 注:运用洛必达法则要点: ①判别是否未定型: ②判别 是否存在. “无穷比无穷”型未定式的定值法： 则可继续使用洛必达法则,即有 能满足定理中 与 应满足的条件， 还是 型未定式，且 与 如果 此时需用别的办法判断未定式 的极限。 无极限，则洛必达法则失效. 或能断定 如果反复使用洛必达法则也无法确定 的极限， 如果式中有一部分极限可以直接求出,则一般应先求出 以简化运算. 补例 求 解: 补例.求 解:由于 注:本题如直接用罗必达法则,则会不胜其繁! 其它类型未定式的定值法： 未定式0??、???、00、1?、?0都可以转化为 “零比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式. 1．洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用.例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷. 应注意的问题：