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§3. 1 中值定理 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 例3. 证明等式 三、函数单调性的判定法： * 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理及中值公式 三、函数单调性的判别法 x O y C x 设连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点 A、B 处的纵坐标相等. A B a b y=f(x) 问：f ?(x)?？ 观察与思考： 罗尔定理： 如果函数y?f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且有f(a)?f(b)，那么在(a, b)内至少在一点x ，使得f ?(x)?0. 简要证明：(1)如果 f(x)=f(a) ，则 f ?(x)?0，定理的结论显然成立的. (2)如果有 x?(a, b)，使 f(x)?f(a)，不妨设 f(x)?f(a)， 则函数f(x)的最大值点 x 必在(a, b)内.于是 因此必有f ?(x)=0. 应注意的问题： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立. x O y A B f(x)不满足条件(1) a b x O y A B f(x)不满足条件(3) a b x O y A B f(x)不满足条件(2) a b c 罗尔定理： 如果函数y?f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且有f(a)?f(b)，那么在(a, b)内至少在一点x ，使得f ?(x)?0. 例1．不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数f ?(x)有几个实根，以及其所在范围. 解：f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在[1, 2]，[2, 3]上满足罗尔定理的三个条件. 在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f ?(x1)=0，x1是 f ?(x)的一个实根. 在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f ?(x2)=0，x2也是f ?(x)的一个实根. f ?(x) 是二次多项式，只能有两个实根，分别在区间(1, 2)及(2, 3)内. 因此,函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数f ?(x)有两个实根，分别在 区间(1, 2)及(2, 3)内. 观察与思考： 设连续光滑的曲线y=f(x) 在端点A、B处的纵坐标不相等. f ?(x)?？， f ?(h)?？ 试问： 直线AB的斜率k=？ 答案： f ?(x)?f ?(h)? k， C2 h x O y A B a b y=f(x) C1 x f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a) . f(b)?f(a)?？ 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少有一点x，使得 f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a). 拉格朗日中值定理的几何意义： 拉格朗日中值定理： C2 h x O y A B a b y=f(x) C1 x 则函数j(x)在区间[a, b]上满足罗尔定理的条件，于是至少存 在一点x?(a, b)，使j ?(x)?0，即 简要证明： 令 由此得 f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a). 拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少有一点x，使得 f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a). f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a) ， f(x?Dx)?f(x)?f ?(x?qDx)Dx (0q 1)， Dy? f ?(x?qDx)Dx (0q 1). 拉格朗日中值公式： 拉格朗日中值定理： 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，那么在(a, b)内至少有一点x，使得 f(b)?f(a)?f ?(x)(b?a). 推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数. 证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1x2)，应用拉格朗日中值定理，就得 f(x2)?f(x1)?f ?(x)(