二次型与矩阵.docVIP

二次型 1、教学目标： 本章讨论双线性函数的一些基本知识，由双线性函数到二次型的定义，重点讨论二次型化为标准形问题。要求学生掌握惯性定理，掌握正定二次型的判定和正定矩阵的化简。 2、教学重、难点：惯性定理，正定二次型的判定和正定矩阵的化简。 3、教学时数：13课时 二次型理论实质上是二次曲线的划分问题的推广, 也就是它的标准型问题. 二次曲线的类型 一般二次曲线的类型并非明显 推广的二次型曲线问题就是本章所要考虑的问题. 问题的目标是：化为只含平方项不含混合项的二次型的标准型二次型与矩阵 定义 1 ? 一个系数在数域里的二次齐次多项式 称为 的元二次型. 二次型可以用矩阵乘积来表示,而且方式不唯一. 例子 1 ? 为研究方便,需给出二次型的唯一表示 定义 2 ? 设 为定义1所给出的二次型,则使得 且是对称矩阵,则称它是二次型的矩阵(表示) 由这个定义给出的二次型的矩阵表示是唯一的 性质 1 ? 二次型的矩阵是唯一的,也是对称的. 为了判断二次型的类型,我们需要非退化的线性替换的概念 定义 3 ? 关系式 称为由变量到的一个线性替换,如果系数矩阵的行列式不为零,则称为非退化的线性替换. 非退化的线性替换的一个性质是：将二次型变为二次型. 性质 2 ? 则 也是关于的二次型. 此时我们看到前后两个二次型所对应的矩阵也有了变化. 定义 4 ? 两个阶矩阵称为合同的,如果有可逆的矩阵使得 合同关系是矩阵理论的第二个等价关系. 至此问题便可归结为 二次型的标准化问题 对称矩阵用合同变换化为对角形问题 利用配方法化二次型为标准型 本节先给出一个初等方法--配方法 定理 1 ? 数域上的任意一个二次型都可以经非退化的线性替换化为标准型. 证明：数学归纳法+配方法 引入新的变量 重复这样的步骤直至所有的项化为了平方项. 注释:没有平方项时候,利用平方差 产生出来再利用上述方法.利用初等变换法化二次型为标准型 利用二次型与他的矩阵之间的关系,等价地得到 定理 1 ? 数域上的任意一个对称矩阵可以用合同变换化为一个对角矩阵 方法对所给的对称矩阵利用相同的行变换和列变换 将之化为对角矩阵. 引理 5 ? 设为对称矩阵,为可逆矩阵,若为上三角矩阵,则 为对角矩阵. 证明：用归纳法来证明之. 设 .则对这个对称矩阵进行分块 ,如下: 故可以将其划为对角分块矩阵 相同的列变换化后一矩阵为 因为矩阵 仍然为对称矩阵, 所以可以利用归纳假设： 为 对角矩阵. 可令 为此我们引入类似求逆矩阵的方法来求可逆的合同矩阵,使得 为对角形矩阵. 注意在上面的证明中,如果,则方法可能失去效用. 问题的解决必须就两种情况来讨论： 所有平方项的系数为零；先产生平方项,在用上面的方法. 同行同列的元素均为零.下进行行列交换,再用上法. 例子 1 ?  inert2dduijiao1 := matrix([[0, 1/4, 0], [1/4, 0, 0], [0, 0, -9]]); 所以利用这个方法必须每完成一次行变换,紧接着就必须进行相同 的列变换才可以；否则结果出错. 两种方法的比较 例子 2 ? 作直角座标变换,把下述的二次曲面方程化成标准方程,并指出它是什么类型. 二次型的唯一性 　 实数域上的标准型 惯性定理 定理 1 ? 实二次型均可经过以适当的非退化的线性替换变成规范型,且是唯一的. 本定理的唯一性主要是指正平方形的项数和 负平方项的项数不变 且知 证明设有两个非退化的线性变化 将同一个二次型化为如下形式的标准型 ? ? (5.1) 不妨设.则由关系式的关系式 进行矩阵的分块 得到关系式 其中 它包含了一个线性关系子式 为了导出矛盾,特别地,令 此时必须 满足线性方程 由于,所以这个方 程组必有非零解 . 代入到关系式(5.1)和(5.1)中 ? ? (5.2) 显然这是不可能的.同理可证不存在 , 故只有 , 复数域上的标准型 二次型的分类问题-正定二次型 这是本章最主要的结论 定义 1 ? 正定二次型： 且当且仅当;如果只满足前者, 即 而可以不等于零的二次型称为半正定的. 对应的矩阵表述是 定义 2 ? 设是一个实对称矩阵.如果二次型 是正定的,则称 是正定的.简单的记作. 负定二次型,半负定二次型可以从上面的定义中等价地给出. 我们对二次型的分类如下： 二次曲线的类型 现在主要研究如何判断一个二次型是正定的、半正定的.可以用定义来判断,也可以用行列式 来判断.主要结论是 定理 1 ? 元实二次型是正定的的充分必要条件是它的正惯性指数等于 定理 2 ? 元实二次型是正定的的充分必要条件是它 的所有顺序主子