电介质物理教学（浙江大学）预备知识-场论与张量基础.pptVIP

电介质物理(预备知识)  -场论与张量基础 X.M. Chen (陈湘明) Department of Materials Science Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027 Tel: E-mail: xmchen59@ Web: /xmchen 1.矢量与场论基础 标量、矢量与场 微分算子 梯度、散度与旋度 标量、矢量与场 标量(scarlar) - 只有大小、没有方向性。如时间、温度、质量等。 矢量(vector) – 不仅有大小、而且有方向性。如速度、加速度、力、电场强度等。 场(Field) – 具有空间分布的量。如某一管道中气体的速度就不能用一个点的量来描述，而必须用一定区域内变化的矢量来定义。 微分算子 多变量标量函数 f(x,y,z)之偏导可表示为 可定义矢量微分算子?,其在笛卡儿坐标中有如下分量 这一算子通常可写为 ?算子自身并无任何几何意义,而其与其它量作用则产生重要的几何意义。 梯度、散度与旋度 梯度(gradient) 散度(divergence) 旋度(curl) 二阶微分算子 可以组合两个一阶微分算子作用于标量函数U或矢量函数A。可能的组合为 ?·(?U), ?×(?U), ?(?·A), ?·(?×A), ?×(?×A) 注意 ?×(? · A)不存在 Laplace算子?2(Laplacian) 张量基础知识 张量的简单例子 张量的数学定义 对称张量的性质 张量与对称性的关系 张量的简单例子-电导率 对于均匀导体,电流密度J与电场强度E同向,其大小成比例关系-欧姆定律 J=sE 或 Ji=sEi (i=1,2,3)。此处，s为电导率，标量。 对于晶体而言，J与E将不再同向。欧姆定律变为 (i=1,2,3) 此处, sij不再是一个数,而是9个数,将这9个数排成矩阵 称为电导率张量(二阶张量)。而各向异性晶体之欧姆定律可表示为 J=s·E 坐标变换 设有直角坐标系OX1X2X3，其3个方向的单位矢为e1, e2, e3, 变换到新坐标系OX1’X2’X3’后,单位矢为e1’, e2’, e3’ 。令新坐标系中ei’在旧坐标系中的方向余弦为aij(j=1,2,3),则 (i=1,2,3) (1) 反之, (i=1,2,3) (2) 方向余弦矩阵 矢量分量的变换 矢量p在新旧坐标系中的分量分别为: p1’, p2’, p3’与p1, p2, p3 由于是同一矢量p，故有 即 (3) 将(2)式代入左边,得 比较两边系数,得 (4) 矢量的数学定义 同样可得 (5) 矢量的数学定义:若有一组数p1, p2, p3, 当坐标系变换后变为p1’, p2’, p3’, 并且满足(4)和(5)式的关系,则这一组数构成一个矢量。 张量分量的变换 以电导率张量为例，各向异性体的欧姆定律