第一章集与点集.docVIP

第一章　集与点集 　　本章内容提要：　　1.集合的概念及其运算.　　2.应用集的对等引进了集的基数的概念.　　3.在中引进几种重要类型的点，并引进几种重要类型的点集，阐明它们的本质特征以及彼此之间的区别与联系.　　4.给出开集（闭集）的结构定理.　　本章重点难点提示：　　1.对等与基数的概念，判定两个集合对等的方法.　　2.有限集与无限集的本质差别:任一无限集能与其某一真子集对等.　　3.聚点的概念及其各种等价定义.　　4.Cantor集的构造和性质. 第一节 集合及其运算 　　1.1.1定义 　　 称为的子集.，称为的真子集.　　　　任给集合，它的子集全体记作，称为的幂集.　　若 称为升列.　　若称为降列. 　　1.1.2定义　　已知集合集族，令　　并: 　　交: 　　差: 　　对称差: 　　集族的并: 　　集族的交: 　　若，则称与不相交；若集族中任意两个集互不相交，则称为一个不交并，例如，令 则是一不交并，.　　设为全集，当时称为在中的补集，记作，显然　　　　1.1.3命题（集运算的规则）　　设则成立以下等式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.1.4定义　　设是一集列，令，称为集列的上极限.　　，称为集列的下极限.　　若，则称集列收敛，并称为集列的极限，记作 　　由定义知，存在任意大的使　　 当 充分大时，　　若为升列，则它必收敛(即上、下极限相等)且　　若为降列，则它必收敛(即上、下极限相等)且显然，为降列，为升列，从而　　　　　　　　定义：设，在上定义一个函数　　　　　 　　称为集合的特征函数.　　利用特征函数，可将集合之间的关系转化为相应的特征函数之间的数量关系，特别，集合运算可以转化为特征函数的相应运算.基本结论如下:　　　　　　　　　　　　1.1.5定义　　已知集合，记　　　　　　称为的积集.　　若，则将写作，称为的重积或次幂.　　积集的例子有:　　 维欧氏空间，正是的重积，　　　即是实平面.　　 中的有理点全体，　　　　　 中有整数坐标的点全体，　　　　　　　　　已知区间中一矩形.一般地，对任何集将积集看作一个以为“边”的矩形.