第四章 实验,相像,猜测,证明.docVIP

返回《中学数学的若干基本观点》目录 第四章 试验 想象 猜测 证明 概说 千百年来,人们总是认为,数学家只需要有一支短短的铅笔头和一张邹巴巴的破纸就可以开展他们的工作,数学家的工作与实验室里的那些坛坛罐罐毫无关系,平心而论,即使是在科学技术已经高度发达的今天,这种描述也还是大体上反映了客观事实.但是,这并不意味着数学家在研究工作中没有实验活动,甚至应当说,许多数学的发现的萌芽,首先并不是抽象思维与逻辑推理的产物,而是纸上写写画画,量量算算,观察猜测的结果,这就是数学的实验,当然,这种实验猜想的结果有时是正确的,但也经常是不正确的,因此,所有的数学猜想都必须经过严格的论证,所谓“大胆假设,小心求证”,这一思想对于数学的学习和研究具有一种根本性的指导意义,实践证明,在合理猜测基础上的逻辑证明具有明确的目标指向性,与漫无边际的推理相比较,它更容易接近真理,所以,试验—猜想—证明,这是解决数学问题三个最基本的步骤. 培养学生的空间想象能力是中学数学教育的基本能力目标之一,它要求学生能够脱离实物而清晰地想象出各种空间对象相互间的位置关系.但是我们应该说,在任何一个数学问题的研究过程中,想象力都是不可或缺的.将空间位置关系的文字表述转换为正确的两维或三维图形,或者是在头脑中产生正确的图形表象,这只是数学想象能力的一个方面.数学的想象能力更应该包括对于一个数学问题的发生,发展直至终结的整个过程的想象,而这种数学问题所涉及的知识可以是几何,也可以是代数,可以有具体的“形”,也可以只有抽象的“数”,或者可以这样说,依靠数学想象力想象一个数学问题的发展变化过程,这是一种数学实验,只不过这种实验仅仅依靠一项工具,那就是人的大脑,借助于这种“大脑实验”,我们将有可能分解出数学问题发展的若干个基本步骤,从而寻求适当的数学工具表述这些过程并最终解决问题. 数学的实验,数学的想象,固然对于数学的学习具有十分重要的意义,蕴含在许多中学数学问题中最核心的数学思想就是这种实验和想象,但我们却不能将这种数学指导思想的作用仅仅是看作为了解决一些数学习题,更重要的则是在运用这种思想解决了一个困难的数学问题以后,继续在这种思想的指导下去进一步探索发现新的数学知识,也就是说,要将这种数学思想作为数学创新能力的一种基本要素. 典型例题精讲 【典型例题1】用计算器验算函数y=(x1)的若干个值,可以猜想下列命题中真命题只能是________.(A)y=在(1,+()上是单调减函数(B)y=,x((1,+()的值域为(0,](C)y=,x((1,+()有最小值(D)=0,n(N+(2001年高考上海卷第16题)〖解题策略〗按提示计算若干个函数值,很自然地总是先考虑计算出自变量为正整数的函数值,如果有必要,再计算一些自变量为非整数的有理数的函数值.〖解〗令f(x)=,则f(2)(0.150514997,f(3)(0.159040418,f(4)(0.150514997,f(5)(0.139794,f(6)(0.129691875,f(7)(0.120728291,f(8)(0.112886248,f(9)(0.106026945,f(10)(0.1,…,由此可以发现f(x)=在(1,+()上不是单调函数,并可以猜想=0,n(N+是正确的,f(x)=当x的值越来越大时,函数值越来越接近于零,但永远不会等于零,因此它没有最小值.又f(2.9)(0.159447585f(3),所以不是函数的最大值,即此函数的值域不是(0,].〖点评〗本问题要求研究一个绝大部分中学生都十分陌生的函数y=(x1)的性质,作为一个高考试题,它指出用计算器验算若干个函数值是一个善意的提示,即使不作这样的提示,我们也应当自觉地利用描点法(点坐标的计算借助计算器完成)作出函数的大致图像并观察它的性质,因为这是函数性质研究的最基本也是最有效的手段之一.这是一种实验的观点,即通过有限次的数值计算将原来抽象的函数以直观的图形表达,从而观察猜想它所具有的性质.但是,这种实验猜想的结果有可能是不可靠的,因为人永远只能计算观察有限的几个函数值(尽管这种观察的次数可以相当多,但终究是有限的),永远无法穷尽所有自变量满足x1的函数值,因此,进过若干次计算后,我们通常还需要对实验结果作进一步修正,再作更精细的实验探索,就象上述解题过程中如果将自变量取大于1的正整数,可能会得出函数的最大值是的结论,但是再对接近于3的自变量计算其函数值,便会发现此结论是不正确的.众多的函数值(也就是多次实验的结果)使得我们可以明确地否定某些猜想,因为实验的结果提供了反例,并且使得我们可以作出某些合理的猜想,但是猜想是需要进一步论证的,当然,要利用初等数学的知识证明当n(N+时=0几乎是不可能的,作为一个高考试题