2000-2010全国高中数学联赛试题汇.doc

2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上． 1．函数的值域是 ． 2．已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 ． 3．双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ． 4．已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，，，且存在常数，使得对每一个正整数都有，则 ． 5．函数（，）在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 ． 6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是 ． 7．正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角，则 ． 8．方程满足的正整数解（，，）的个数是 ． 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）已知函数（），当时，，试求的最大值． 10．（本小题满分20分）已知抛物线上的两个动点（，）和（，），其中且．线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值． 11．（本小题满分20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得． 2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷） （考试时间：10月17日上午9∶40—12∶10） 一、（本题满分40分）如图，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点．求证：若，则，，，四点共圆． 二、（本题满分40分）设是给定的正整数，．记， ，．证明：存在正整数，使得为一个整数．这里表示不小于实数的最小整数，例如：，． 三、（本题满分50分）给定整数，设正实数，，…，满足，，，…，，记，，，…，．求证：． 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ 2009年全国高中数学联合竞赛一试题 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 若函数且，则 ． 已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为 ． 在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 ． 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 ． 椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为 ． 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题 （本小题满分14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． （本小题15分）已知，是实数，方程有两个实根，，数列满足，， (Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）； (Ⅱ)若，，求的前项和． （本小题满分15分）求函数的最大和最小值． 2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A卷） 一、如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于． ⑴求证：； ⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，， 求证：，，，四点共圆． 二、求证不等式：，，2，… 三、设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素． 四、在非负数构成的数表 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，，，，，，，均大于．如果的前三列构成的数表 满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，…，9）均存在某个使得 ⑶． 求证： （ⅰ）最小值，，2，3一定自数表的不同列． （ⅱ）存在数表中唯一的一列，，2，3使得数表 仍然具有性质． 2008全国高中数学联合竞赛一试试题 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．函数在上的最小值是 （ ） A．0 B．1 C