线性方程组解的结构pps.pptVIP

3.4线性方程组解的结构 一.齐次线性方程组的基础解系 考虑：齐次线性方程组 接下来：用向量线性相关性理论来研究它的解。 定义3.8 设 是齐次线性方程组的一组解向量，若它满足条件： （1）线性无关； （2）齐次线性方程组的任意一组解都能表示为 的线性组合，则称 为齐次线性方程组的基础解系。 基础解系的存在性： 定理3.10 齐次线性方程组有非零解时，一定有基础解系 ，且基础解系含有 个解，其中 是未知量的个数， 是系数矩阵的秩。 由定理的证明可以得出求齐次线性方程组基础解系的方法： (1).求齐次线性方程组的通解； (2).再分别另 个任意常数为(4.3)式中的 组数，就可以得到 个解，这就是所求的基础解系。 注意：只需所取的 组数构成的 阶行列式不等于零，就保证相应得到的 个解线性无关，这样就能保证得到基础解系。 例1 求解齐次线性方程组的基础解系 解 将系数矩阵进行初等行变换 行变换 记 化简 ，使它1，2，3行；1，3，5列的三阶子阵为单位阵。 得到齐次线性方程组的通解： 令： 基础解系 例2 设A为 矩阵，且 ，求证：必存在 一个秩为 的 的矩阵B，使 证明：考虑齐次线性方程组 由定理3.10可知，必存在基础解系，且含有 个解，设 为其基础解系。 令： 显然： 是一个 的矩阵，秩为 且 证毕。 二.非齐次线性方程组解的结构 考虑：非齐次线性方程组 对应的齐次线性方程组 定理3.11 若 是方程组 的一个特定的解（一般称为特解）， 是相应齐次线性方程组 的通解，则方程组 的通解为： 若 是齐次线性方程组的基础解系，则非齐次线性方程组的通解可以表示为： 其中 为任意常数 。 例1 求解齐次线性方程组的基础解系 解 将增广矩阵进行初等行变换 通解： 向量形式： （ 为任意常数） * *