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直角三角形全等的判定 福州三中金山校区 崔文婷 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 直角三角形全等的判定 Question:如何判定两个直角三角形全等? A B C A′ B′ C′ 已经有什么元素对应相等? 你准备添上什么条件就可以证明这两个直角三 角形全等呢? ∠B=∠B′=90° * 想一想 对于一般的三角形“SSA”不可以证明三角形全等 A B C D 但直角三角形作为特殊的三角形, 会不会有自身独特的判定方法呢 ? * 动动手 做一做 画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=8cm,斜边AB=10cm. How to do it? A B C 10cm 10cm 10cm 10cm 10cm 8cm 8cm 8cm 8cm 8cm * 动动手 做一做 Step1:画∠MCN=90°; C N M * 动动手 做一做 Step1:画∠MCN=90°; C N M Step2:在射线CM上截取CA=8cm; A * Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=8cm; 动动手 做一做 Step3:以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B; C N M A B * Step1:画∠MCN=90°; C N M Step2:在射线CM上截取CA=8cm; B 动动手 做一做 Step3:以A为圆心，10cm为半径画弧，交射线CN于B; A Step4:连结AB; △ABC即为所要画的三角形 * 动动手 做一做 比比看 把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看， 这些直角三角形有怎样的关系呢？ * Rt△ABC≌ A B C 10cm 10cm 10cm 10cm 10cm 8cm 8cm 8cm 8cm 8cm A′ B ′ C ′ 10cm 10cm 10cm 10cm 10cm 8cm 8cm 8cm 8cm 8cm * 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边” 或“HL” * 斜边、直角边公理 (HL) A B C A ′ B′ C ′ ∴在Rt△ABC和Rt△ 中 AB= BC= ∴Rt△ABC≌ ∵∠C=∠C′=90° 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. * 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? 1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形. 全等 (AAS) * 2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? ( ASA) * 3.两直角边对应相等的两个直角三角形. 全等 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? ( SAS) * 4.有两边对应相等的两个直角三角形. 全等 判断： 满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么? 情况1：全等 情况2：全等 (SAS) ( HL) * 例1 已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC, AD⊥BD, 垂足分别为C,D,AD=BC,求证： △ABC≌△BAD. A B D C 证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD ∴∠C=∠D=90°(垂直的定义) 在Rt△ABC和Rt△BAD中 ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) * 例2 已知：如图， △ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD A B C D 证明：∵AD是高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 AB=AC AD=AD(公共边) ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC（HL） ∴BD=CD,∠BAD=∠CAD (全等三角形的对应边相等,对应角相等) * 例3 已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高, 并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF, 求证：△ABC≌△DEF A B C P D E F Q ∠BAC=∠EDF, AB=DE,∠B=∠E 分析： △ABC≌△DEF Rt△ABP≌Rt△DEQ AB=DE,AP=DQ * A B C P D E F Q 证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高 ∴∠APB=∠DQE=90° 在Rt△ABP和Rt△DEQ中 AB=DE AP=DQ ∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) ∴ ∠B=∠E (全等三角形的对应角相等) 在△ABC和△DEF中 ∠BAC=∠EDF