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计算机数学（A）直播课 安徽电大责任教师 吴和生 联系方式 E-mail:wuhesheng@mail.ahtvu.ah.cn 电话:(0551)3638362 写信：邮编230022, 地址为：安徽电大教学处 吴和生 线性代数 行列式 矩阵 行列式 二阶行列式的定义 n阶行列式定义 行列式的性质 行列式按行(列)展开 例题分析 一.矩阵概念 (一)矩阵的定义 (二)一些特殊的矩阵 (三)矩阵的应用实例 (一)矩阵的定义 由 个数 排成的m行n列的数表 称为m行n列矩阵. 简称 矩阵 记作 简记为 例 记号 (二)一些特殊的矩阵 零矩阵: 记作: 行矩阵: 对 型矩阵而言 个元素都为零的矩阵. 列矩阵: 方阵: 称 为n阶方阵. 单位矩阵: 主对角元全为1,其余元素全为零的n阶矩阵. 数量矩阵: 主对角元全为非零常数 的n阶矩阵. 其余元素全为零 记作: 或 对角阵: 非主对角元皆为零的n阶矩阵. 行列式与矩阵的区别: 一个是算式,一个是数表 一个行列数相同,一个可不同. 对 n阶方阵可求它的行列式.记为: (三)矩阵的应用实例 省两个城市 和 例1(通路矩阵) 省三个城市 的交通联结情况如图 .每条线上的数字表示联结该两城 市的不同通路总数.由该图提供的通路信息,可用矩阵形 式表示,称之为通路矩阵. 例2(价格矩阵) 四种食品(Food)在三家商店(Shop)中,单位 量的售价(以某种货币单位计)可用以下矩阵给出 例3(赢得矩阵) 我国古代有“齐王赛马”的事例,说的是 战国时代齐王与其大将田忌赛马,双方约定各出上,中, 下3个等级的马各一匹进行比赛,这样共赛马3次,每次 比赛的败者付给胜者一百金. 已知在同一等级马的比 赛中,齐王之马可稳操胜券,但田忌的上,中等级的马分 别可胜齐王中,下等级的马. 比赛策略: (上,中,下), (中,上,下), (下,中,上), (上,下, 中), (中,下,上), (下,上,中). 齐王的赢得矩阵 齐 王 策 略 田 忌 策 略 例4 (系数矩阵) 个变量 与 个变量 之间的 关系式 表示从变量 到变量 的线性变换. 其中 为常数. 线性变换 矩阵 二.矩阵的基本运算 (一)矩阵相等,加减法,数乘 (二)矩阵的乘法 (三)矩阵的转置 (四)方阵的行列式 二.矩阵的基本运算 相等: 设 则 且 时, 称矩阵 与矩阵 相等. 记作: 加法: (一)矩阵相等,加减法,数乘 满足运算规律: 减法: 数乘: 数 规定: 注意:矩阵的数乘与行列式的线性性质的区别. 满足运算规律: 数 引例 两个工厂生产甲,乙,丙三种产品. 矩阵 表示一年中各工厂生产每种产品的数量, 矩阵 表示每种产品的单位价格及单位利润, 矩阵 表示各工厂的总收入和总利润. 某地有 甲 乙 丙 单位 甲 乙 丙 价格 单位 利润 总收入 总利润 (二)矩阵的乘法 其中 定义: 规定: 与 的乘积是一个 阵 记作: 注: (1)两矩阵 可做乘积 的必要条件 (2)矩阵相乘对初学者来说是较为陌生的运算法则, 需通过大量,反复练习来掌握. 例5 例6 例7 例8 * (一)行列式的来源,二阶行列式的定义 来源:解线性方程组 考虑用消元法解 为了求出 ,需先消去 于是 得: 当 时, 类似有: 这就是含有两个未知量两个方程的线性方程组在条件 下的公式解. 公式解的缺点: 不便于记忆 改进方法: 引入新的记号 定义一: 令 并把此式叫做一个二阶行列式. (结果是个数) 等式左端是记号, 右端是行列式的算法. 公式解的便于记忆形式 记法: 分母相同, 其行列式形式由原方程中 未知数系数按其原有的相对位置而排成. 分子不同, 分别是把居分母地位的行 列式中 的系数所在位置换成两个常数项 并保持该二数原有的上下相对位置. (二)n阶行列式定义 余子式: 在n阶行列式中,把元素 所在的行和列划去, 留下的n-1阶行列式叫做元素 的余子式. 代数余子式: 记作: 例如: 的余子式和代数余子式. 求: 中 (三)行列式的性质 性质1: 行列式与其转置行列式的值相等. 说明:此性质很重要. 它说明行列式中的行与列的地位是 等同的. 行列式的性质凡是对行成立的对列也成立. 性质2: 互换行列式的两行(列),行列式变号. 性质3: 推论:如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式 为零. 行列式任一行的公因子可提到行列式之外. 或用常数 乘行列式任意一行的诸元素,等于用 乘这个行列式. 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素成比例, 则此行列式等于零. 性质5: 注:性质3,性质5又称为线性性质 性质6: 在行列式中,把某行各元素分别乘非零常数 再加到另一行的对应元素上去,行列式的值不变. (四)行列式按行(列)展开