数值分析实验报告插值与拟合.doc

插值与拟合 1. 观察直接利用拉格朗日插值多项式的病态性 实验目的：如果直接利用拉格朗日插值多项式的的定义，即 确定系数，就必须解方程 该方程的系数矩阵为范德蒙（Vandermonde）矩阵，它是严重病态的，因此这种方法不能使用。本实验的目的是观察这种病态性。 实验内容：取不同的n ，并在[0，1]区间上取n个等分点，计算上述系数矩阵A的条件数，画出㏑(cond(A)）～n之间的曲线。（可利用MatLab的库函数cond完成） 实验算法：（源程序） function y=tiaojianshu(x) for i=1:x n=i; B=[]; A=ones(n+1,1); for j=1:n+1 a(j)=(j-1)/n; end for i=1:n+1 B=[B,a(i)]; end B=B; for k=1:n A=[A,B.*A(:,k)]; end A y=log(cond(A)); plot(n,y,.r); xlabel(n); ylabel(1n(cond(A))); hold on end 实验结果： ㏑(cond(A)）～n之间的曲线如下： 实验说明：随着n的值增大，㏑(cond(A)）也线性增大，即cond(A)呈现指数上升趋势。 当n取一个较大的值时，cond(A)会相当大，方程组呈现变态。 2. 牛顿插值法 实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 实验内容：给定函数 ，已知： 实验要求：用牛顿插值法求4次Newton插值多项式在2.15处的值，以此作为函数的近似值。 实验算法： 根据下面方程求出系数 然后列出求的表达式： 源程序如下： format long x=2.15;y=0; X=[2.0; 2.1; 2.2; 2.3 ;2.4]; Y=[1.414214;1.449138;1.483240;1.516575;1.549193]; A=ones(5,1); B=[];C=[]; for i=1:5 B(i,1)=X(i,1)-X(1,1); end for i=1:5 B(i,2)=(X(i,1)-X(1,1))*(X(i,1)-X(2,1)); end for i=1:5 B(i,3)=(X(i,1)-X(1,1))*(X(i,1)-X(2,1))*(X(i,1)-X(3,1)); end for i=1:5 B(i,4)=(X(i,1)-X(1,1))*(X(i,1)-X(2,1))*(X(i,1)-X(3,1))*(X(i,1)-X(4,1)); end A=[A,B]; C=linsolve(A,Y); C=C; y=y+C(1)+C(2)*(x-X(1,1))+C(3)*(x-X(1,1))*(x-X(2,1)); y=y+C(4)*(x-X(1,1))*(x-X(2,1))*(x-X(3,1)); y=y+C(5)*(x-X(1,1))*(x-X(2,1))*(x-X(3,1))*(x-X(4,1)) 实验结果： y = 1.46628819531250 3. 拟合方式实验 实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。 实验内容：给定数据点： 0 0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．0 1 1．75 1．96 2．19 2．44 2．71 3．00 实验要求： ⑴ 用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，作出离散函数和拟合函数的图形。 ⑵ 用MatLab的函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合，并用MatLab的有关函数作出其图形。 实验算法：（源程序） （1） format long X=[0,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0]; Y=[1,1.75,1.96,2.19,2.44,2.71,3.00]; plot(X,Y,r*); legend(数据点(xi,yi)); xlabel(x); ylabel(y); title(数据点(xi,yi)的散点图); hold on syms x y wucha=0; X=[0,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0]; Y=[1,1.75,1.96,2.19,2.44,2.71,3.00]; n=length(X);B=[]; A=ones(n,1); 接上 B=X; A=[A,B]; B=B.*B; A=[A,B]; C=linsolve(A,Y) y=C(3)*x^2+C(2)*x+C(1) x=-1.00:0.01:1.00 y=C(1)+C(2)*x+C(3)*x.^2; plot(x,y); xlabel