概率论课件 第二章 一维随机变量及其分布精选.pptVIP

若 X ~Ｅ(?),则 故又把指数分布称为“永远年轻”的分布 指数分布的“无记忆性” 事实上 命题 * 其中μ、σ0为常数，则称X服从参数为μ、σ的正态分布，简记为X～N(μ,σ2) 。 正态分布 若随机变量X的分布密度 * ?固定时， σ的值越小，f(x)的图形就愈尖、越狭。 σ的值越大，f(x)的图形就愈平、越宽。 * X的分布函数为 特别地称N(0,1)为标准正态分布，其概率密度及分布函数常记为： * 如X～N(μ,σ2)，有 证明： * * 证明： * 例 设已知测量误差X～N（0，102 ），现独立重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。 解： 第一步:以A表示一次测量中“误差绝对值超过19.6”的事件，则有 * 第二步:以Y表示100次独立重复测量中，事件A发生的次数，则η～B（100，0.05），所求概率是 P（Y≥3）=1－P（Y3） 第三步:由于n=100较大而p=0.05很小，故二项分布可用λ=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得 * 例4 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高X服从μ=170cm、σ=6cm的正态分布，即X～N（170，62 ），试确定车门的高度。 解： 设车门的高度为hcm，根据设计要求应有 * * 例5：从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位分钟）服从正态分布N(50,100)，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位分钟）服从正态分布N(60,16)， （1）如有70分钟可用，问应走哪一条路线？ （2）如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？ * 解： * * 如X是随机变量，在y=g(x)连续、分段连续或单调时，则 Y=g(X) 也是随机变量。 一维随机变量函数的分布 方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件 求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数 或分布律 问题 已知随机变量 X 的密度函数 或分布律 * 设随机变量 X 的分布律为 由已知函数 g( x)可求出随机变量 Y 的 所有可能取值，则 Y 的概率分布为 离散型随机变量函数的分布 * 例1 设X的分布律为 X －2 －1 0 1 2 P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 解 P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 X －2 －1 0 1 2 4 1 0 1 4 2X-1 －5 －3 －1 1 3 3 2 1 2 3 将表中取相同值的部分作适当并项得 * P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 X －2 －1 0 1 2 4 1 0 1 4 2X-1 －5 －3 －1 1 3 3 2 1 2 3 将表中取相同值的部分作适当并项得 0.4 0.4 0.2 P 4 1 0 X2 * 0.25 3 0.2 1 0.2 0.2 0.15 P －1 －3 －5 2X-1 P 0.15 0.2 0.2 0.2 0.25 X －2 －1 0 1 2 4 1 0 1 4 2X-1 －5 －3 －1 1 3 3 2 1 2 3 将表中取相同值的部分作适当并项得 0.4 0.4 0.2 P 3 2 1 ︱X︱+1 * 已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的密度函数 方法： （1） 从分布函数出发 （2）用公式直接求密度函数 连续性随机变量函数的分布 * 例2 设随机变量X具有连续的分布密度fX(x)，试求Y=aX+b（其中a，b是常数，并且a≠0）的分布密度fY(y)。 解： * * * 例 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，求 的分布密度fY(y)。 解： * * 例 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y) 从分布函数出发 [ y y [ 当 y 0 时，FY (y) = 0 当 y 0 时， ] [ * 故 * 第二章 一维随机变量及其分布 随机变量的概念及其分布函数 一维离散型随机变量 一维连续型随机变量 一维随机变量函数的分布 随机变量的概念及其分布函数 随机变量的概念 随机变量的分布函数 * 定义 称定义在样本空间Ω上的实函数X=X(ω)，ω∈Ω，是随机变量，如对任意实数x ，集合{ω∣ X(ω) ≤x} 都是一随机事件。 注：一般X(ω) 简单记为X， {ω∣X(ω) ≤ x} 记为{X ≤ x} 随机变量的概念 * 分布函数 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{ω∣X(ω) ≤ x}称为随