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概率论与数理统计教案1 概率论与数理统计教案 讲 稿 第一章 概率论的基本概念 一、基本概念 1. 随机试验 2. 样本空间 试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母?表示（本书用S表示）每个结果叫一个样本点. 3．随机事件 ?中的元素称为样本点，常用?表示。 (1) 样本空间的子集称为随机事件(用A,B表示)。 (2) 样本空间的单点子集称为基本事件。 (3) 实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。 (4) 必然事件?。 (5) 不可能事件?。 (6) 完备事件组（样本空间的划分） 4．概率的定义（公理化定义） 5．古典概型 随机试验具有下述特征： 1）样本空间的元素（基本事件）只有有限个； 2）每个基本事件出现的可能性是相等的； 称这种数学模型为古典概型。 P(A)=k n?A包含的基本事件数 基本事件总数 ?。 6．几何概型 p(A)? 7．条件概率 设事件B的概率p(B)?0.对任意事件A，称P(A|B)= 件下事件Ａ发生的条件概率。 8．条件概率的独立性 P(AB)P(B)A的长度（面积、体积）?的长度（面积、体积） 为在已知事件Ｂ发生的条 A、B ?F,若P(AB)= P(A) P(B) 则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。 设三个事件A,B,C满足 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立。 二、事件的关系的关系与运算 １.事件的包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A， 记作A?B。 ２. 事件的相等 设A,B??,若A?B，同时有B?A，称A与B相等，记为A=B， ３.并(和)事件与积(交)事件 “A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作A?B . “A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作A?B或A?B ４.差事件 “A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作A?B ５.对立事件 称“??A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。 ?? A?A?A AA?? ６.互不相容事件（互斥事件） 若两个事件A与B不能同时发生，即AB??，称A与B为互不相容事件（或互斥事件）。 ７.事件的运算法则 1)交换律 A?B?B?A,AB?BA 2)结合律 ?A?B??C?A??B?C?,?AB?C?A?BC? 3)分配律 ?A?B??C??A?C???B?C? (A?B)?C?(A?C)?(B?C) 4)对偶原则 A?B?A?B ，A?B?A?B 三、常用公式 1.加法公式 （1）对任意两个事件A、B，有P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB) （2）对任意三个事件A、B，C p(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?p(AB)?p(AC)?p(BC)?p(ABC) 2.减法公式 若A?B 则P(B-A)= P(B)-P(A); P(B)?P(A) P(A-B)= P(A)-P(AB) 3.对立事件概率公式 对任一随机事件A，有 P（A）=1-P（A）； 4.乘法公式 当p(A)?0时: p(AB)?p(A)P(B|A p(ABC)?p(A)P(B|A)p(C|AB) 5全概率公式 n 定理1：设 B1,B2,?,Bn是 一列互不相容的事件，且有?Bi??,对任何事件A， i?1 n 有P(A)= ?P(Bi)P(ABi) i?1 6、贝叶斯公式 n 定理2：若B1,B2,?,Bn是一列互不相容的事件，且?Bi?? i?1 则对任一事件A有p(Bi|A)?p(Bi)p(A|Bi)n ? j?1p(Bj)p(A|Bj) 两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段； 两个公式的不同点： 全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果” 贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因” 7.贝努里概型 ? 贝努里试验:若试验E只有两个可能的结果A及A，称这个试验为贝努里试验。 贝努里概型 设随机试验E具有如下特征： 1）每次试验是相互独立的； 2）每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件A； 3）每次试验的结果发生的概率相同 p(A)?p?0 p(A)?1?p?q 称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试验。记为E。 kkn?k设事件A在n次试验中发生了X次，则P{X?k}?Cnp(1?p),k?1,2,?,n n 四、举例 例1.已知p(AB)?p(AB)，p(A)?p，求p(B) 【解】 p(AB)?p(AB)?p(A?B)?1?[p(A)?p(B)?p(AB)] p(B)?1?p 例2.已