概率论(第二版) 多维随机变量及其分布课件精选.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 设 X1, X2, …… Xn, 独立同分布，其分布函数和密度函数分别为 FX(x) 和 pX(x). 一般情况 若记 Y = max (X1, X2, …… Xn), Z = min (X1, X2, …… Xn) 则 Y 的分布函数为: FY (y) = [FX(y)]n Y 的密度函数为: pY(y) = n[FX(y)]n?1 pX(y) Z 的分布函数为: FZ(z) = 1?[1? FX(z)]n Z 的密度函数为: pZ(z) = n[1? FX(z)]n?1 pX(z) * 例 设某段道路上有5个路灯，每个路灯平均寿命是2000 小时，若每只灯泡每天用10个小时，则30天内需要换灯泡的概率是多少？后来此段道路改建，加装了15个路灯，则30天内需要换灯泡的概率是多少？ 解 设所有灯泡的使用寿命是相互独立，同分布的随机变量，其共同分布为指数分布Exp(λ)，其中λ=1/2000. 5个灯泡中第一个灯泡烧坏的时间T1=min{X1,…,X5}. 则T1～ Exp(5λ)，30天需要换灯泡的概率为 道路改建后，灯泡变成了20个，则30天需要换灯泡的概率为 * 本节主要给出 X 与 Y 的相关系数 §3.4 多维随机变量的特征数 * 3.4.1 多维随机变量函数的数学期望 定理 3.4.1 设 (X, Y) 是二维随机变量， Z = g(X, Y)，则 E(Z) = E[g(X, Y)] = * 例题 在长为 a 的线段上任取两点 X 与 Y，求两点间的平均长度. 解 因为X与Y都服从(0,a)上的均匀分布，且X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合密度函数为 所以两点间的平均长度为 * 3.4.2 数学期望与方差的运算性质 1. E(X+Y)=E(X)+E(Y) 2. 当X与Y独立时，E(XY)=E(X) E(Y), (性质3.4.1) (性质3.4.2) * 讨论 X+Y 的方差 1. Var(X?Y) = Var(X)+ Var (Y) ?2E[X?E(X)][Y?E(Y)] 3. 当X与Y独立时，E[X?E(X)][Y?E(Y)] = 0. 4. 当X与Y独立时， Var(X ?Y) = Var(X)+ Var (Y) . 2. E[X?E(X)][Y?E(Y)] = E(XY) ? E(X)E(Y) 注意：以上命题反之不成立. * 课堂练习1 X 与 Y 独立，Var(X) = 6，Var(Y) = 3， 则 Var(2X?Y) = ( ). 27 * 课堂练习2 X ~ P(2)，Y ~ N(?2, 4)， X与Y独立， 则 E( X?Y) = ( ); E( X?Y)2 = ( ). 4 22 * 3.4.3 协方差 定义3.4.1 称 Cov(X, Y) = E[X?E(X)][Y?E(Y)] 为 X 与 Y 的协方差. * 协方差的性质 (4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性质3.4.7) (1) Cov(X, Y) = E(XY) ? E(X)E(Y). (性质3.4.4) (2) 若 X 与 Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0. (性质3.4.5) (6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性质3.4.9) (3) Var(X?Y) = Var(X)+ Var (Y) ? 2 Cov(X, Y) (性质3.4.6) (5) Cov(X, a) = 0. (性质3.4.8) (7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10) * 3.4.4 相关系数 定义3.4.2 称 Corr(X, Y) = 为 X 与 Y 的相关系数. * 若记 注 意 点 则 * 相关系数的性质(1) (1) 施瓦茨不等式 { Cov(X, Y) }2 ? Var(X)Var(Y). * 相关系数的性质(2) (2) ?1 ? Corr(X, Y) ? 1.