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各种支承条件下等截面细长压杆临界力欧拉公式 支承情况 失稳时挠曲线形状 临界力Fcr欧拉公式 长度系数μ 两端铰支 Fcr A B l μ=1 l 一端固定另端铰支 μ? 0.7 Fcr A B 0.7l C C— 挠曲线拐点 Fcr l 一端固定另端自由 μ=2 2l l C、D— 挠曲线拐点 0.5l 两端固定 μ=0.5 A B C D 例9-1: 试求图示细长松木压杆的临界力。已知弹性模量E＝9 GPa, 矩形截面的尺寸为：b＝3 cm, h=0.5 cm, 杆长l＝1 m。(两端可简化为铰支) 解：先计算横截面的惯性矩 杆的两端可简化为铰支，可得其临界力为 由此可知， 若轴向压力达到27.8N时， 此杆就会丧失稳定。 例: 一下端固定、上端自由并在自由端受轴向压力作用的等直细长压杆, 杆长为l。在临界力作用下, 杆失稳时有可能在xy平面内维持微弯状态下的平衡, 其弯曲刚度为EI。试推导其临界力Fcr的欧拉公式, 并求压杆的挠曲线方程。 解：根据杆端约束情况, 杆在临界力Fcr作用下的挠曲线形状如图所示。最大挠度d发生在杆的自由端。由临界力引起的杆任意x横截面上的弯矩为 杆的挠曲线近似微分方程: 移项并简化得: 微分方程的通解为: A, B, k为待定常数。 x＝0时, 得A＝0。又x＝0时, w＝0, 即 得B＝-d, 所以w＝d (1-coskx) 最后由x＝l 时, w＝d 代入上式得 其最小解kl＝p/2, 得临界力Fcr的欧拉公式 coskl＝0 以k＝p/2l代入w＝d (1-coskx)得压杆的挠曲线方程 * 第 9 章压杆稳定 9.1 压杆稳定的概念 一根宽30 mm，厚5 mm的矩形截面松木杆，对其施加轴向压力， 如图。设材料的抗压强度sc＝40 MPa，当杆很短时(设高为30 mm)，由计算可知，将杆压坏所需的压力为 9.1 压杆稳定的概念 压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡的现象，称为丧失稳定，简称失稳。 但如杆长为 l m，则不到 30 N的压力，杆就会突然产生显著的弯曲变形而失去工作能力。 补充—— 压杆稳定研究简史 大约从六七千年前，我国从新石器时代开始的房屋，营建方式主要有两种： （一） 一种是长江流域多水地区的干阑式建筑(所谓干阑式建筑，即体量较大，下屋架空，上层铺木板作居住用的房屋); 另一种是黄河流域的木骨泥强房屋。这两种营建方式都离不开柱子。 补充—— 压杆稳定研究简史 浙江余姚河姆渡新石器文化遗址的木构榫卯 几千年来，柱子大多采用圆形和各种正多边形的截面，尤其值得一提的是“拼合柱”。 除了房屋的柱子，古代的兵器也采用了各种合理的截面形状。 古希腊人在建造神殿时，采用了仿生学的方法来确定柱子的尺寸。 他们测量男人的足印，发现足的尺寸大约是身高的1/6。于是他们把这个比例用到了柱子上。 补充 ——压杆稳定研究简史 西方文艺复兴以来，人们逐渐开始用实验和理论分析的方法研究柱的承载能力问题。 (二) Leonardo da Vinci（A.D. 1452-1519)做过一些开拓性的工作。他认为：高度一定的柱的承载能力与其直径的立方(？？？)成正比。 补充—— 压杆稳定研究简史 继Euler之后, J-L.Lagrange在1770-1773年有关柱的形状的论文中，得出了两端铰支的压杆承载力公式。 1846年, E.Lamarle在《关于木材弯曲的研究报告》中，讨论了Euler公式的适用范围问题。 一端固定、一端自由的压杆承载力公式是L.Euler在1744出版的一本有关变分法的专著指出的，但当时他得到的结果是错误的。直到1757年出版《关于柱的承载力》的著作时，他才纠正了自己的错误。 补充—— 压杆稳定研究简史 在很长一段时期内，Euler和Lagrange得出的公式并未受到工程上的重视和广泛应用，这与当时采用的柱体结构大都短和粗有关。 （三） 但进入19世纪末和20世纪初，由于压杆失稳引起的破坏事故出现了不少： 20世纪初，享有盛誉的美国桥梁学家库柏（Theodore Cooper）在圣劳伦斯河上建造魁北克大桥(Quebec Bridge)。1907年8月29日，发生稳定性破坏，75位工人死亡，成为上世纪十大工程惨剧之一。 案 例 1 案例2 1995年6月29日下午，韩国汉城三丰百货大楼，由于盲目扩建，加层，致使大楼四五层立柱不堪重负而产生失稳破坏使大楼倒塌，死502人，伤930人，失踪113人。 2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心由于脚手架失稳造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。 所以研究压杆稳定性问题非常重要 案 例 3 中心受压直杆(理