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* * 对定积分的补充规定: 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 说明 第二节 定积分的性质 一、基本内容 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 性质2 证 性质1+性质2 得： ò ò = b a b a dx x f k dx x kf ) ( ) ( ( k 为常数 ). 推广： 即线性组合的定积分等于定积分的线性组合 ——说明定积分也具有线性运算性质 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 则 （定积分对于积分区间具有可加性） 性质3 性质5（非负性） 证 性质4 令 于是 性质5的推论：（比较定理） （1） （2） 解 证 说明： 可积性是显然的. 性质5的推论： （2） 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6（估值定理） 解 积分中值公式 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 使 即 积分中值公式的几何解释： 称 为函数 在 上的平均值。 ] , [ b a 例3 证明 . 2.例题 由性质6得 即 证 设 ，则 在 上连 续， ， 在 上单增， 则 例4 证明 . 证 设 ， 在 上连续， 上都至少存在一点 ，使得 根据定积分中值定理，对于每一个 在 ，由夹逼准则 有 而 解 由积分中值定理知有 使 例5 设 f(x) , g(x) 在 [ a , b ] 上连续，证明 ①若在 [ a , b ] 上 则在 [ a , b ] 上 ②若在 [ a , b ] 上 ③若在 [ a , b ] 上 则在 [ a , b ] 上 证明 ①反证法 必有一点 不妨设 a x0 b （端点处的情况类似） 由 f ( x ) 的连续性 由非负性 由积分中值定理 与题设矛盾 ② 已知 由比较定理 则由①得 而假设 ③ 已知 由比较定理 由①得 １．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） ２．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小． 思考题 二、小结