级离散数学(函数序列和关系).pptVIP

【 作业7】设A＝{1,2,3}，R1，R2，R3和R4都是A上的关系，其中 R1＝{（1,1）,（2,2）} R2＝{（1,1）,（1,2）,（2,1）} R3＝{（1,2）,（1,3）} R4＝{（1,2）,（2,1）,（1,3）} 判断R1，R2，R3和R4是否为A上对称和反对称的关系。 R1既是对称也是反对称的。 R2是对称的但不是反对称的。 R3是反对称的但不是对称的。 R4既不是对称的也不是反对称的。 传递性(transitivity) 【定义】 设R为A上的关系，x,y,z∈A,如果有（x,y）∈R 且（y,z）∈R 则有（x,z）∈R 则称R是A上的传递关系。 【 例 】设A={1,2,3}，R1，R2，R3是A上的关系，其中 R1＝{（1,1）,（2,2）,（1,2）,（2,1）} R2＝{（1,2）,（2,2）,（3,3）,（2,3）} R3＝{（1,3）,（2,1）, （3,3）} 说明R1，R2和R3是否为A上的自反关系。 R1是传递的，因为（2，1）,（1,2）传递到（2,2）在关系R1中，（1，2）,（2,1）传递到（1,1）也在关系R1中。 R2不是传递的，因为（1,2）,（2,3）传递到（1,3）但（1,3）不在R2中。 R3不是传递的，因为（2,1）,（1,3）传递到（2,3）不在关系 R3中。 【 作业8】设A＝{1,2,3}，R1，R2，R3是A上的关系，其中 R1＝{(1,1),(2,2),(1,2)}  R2＝{(1,2),(2,3)}  R3＝{(1,3),(1,2),(2,3)} 判断R1，R2和R3是否为A上的传递关系。 【测试题】判断下图中关系的性质，并说明理由。 （1）不是自反的，对称的，不是反对称的，不是传递的。 （2）不是自反的，不是对称的，是反对称的，是传递的。 （3）是自反的，不是对称的，是反对称的，不是传递的。 等价关系(equivalent relation） 【定义】 设R为非空集合A上的关系。如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系。 例：已知集合 A={1，2，3，4}，关系 R={（1，1），（1，4），（4，1），（4，4），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）}。判断R是否为A上的等价关系。 解：∵（1，1），（4，4），（3，3）∈ R，∴R是A上的自反关系。 ∵（1，1），（4，4），（3，3），（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）∈ R，∴R是A上的对称关系。 ∵（1，1），（1，4）传递到（1，4）∈ R， （1，4），（4，1），传递到（1，1）∈ R， （1，4），（4，4），传递到（1，4）∈ R， （2，2），（2，3），传递到（2，3）∈ R， （2，3），（3，2），传递到（2，2）∈ R， （2，3），（3，3），传递到（2，3）∈ R， ∴R是A上的传递关系。 【作业1】：已知集合 A={1，2，3}，关系 R={（1，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）}。 判断R是否为A上的等价关系。 【作业2】：已知集合 A={1，3，5}，关系 R={（1，1），（5，5），（5，3），（3，5），（3，3）， （5，1），（1，5），（1，3），（3，1）}。 判断R是否为A上的等价关系。 等价类(equivalent relation) 【定义】 设R为非空集合A上的等价关系，?a∈A，令 [a]={b|b∈A∧aRb}称[a]为a关于R的等价类，简称a的等价类，记为[a] 。 【说明】： a的等价类是A中所有与a有关的元素构成的集合。 【例】设A={1,2,3,4,5,6}，R是A上的关系，其中 R ＝{（1,1）,（2,2） ,（3,3）, （4,4）, （5,5）, （6,6）, （1,3） , （3,1）, （1,5）（5,1） , （3,5）,（5,3） , （2,6）, （6,2） } 试列出集合A的所有等价类 【分析】因为：（1,1）,（1,3）, （3,1）,（1,5 ）与1有关, 所以[1]={b|b∈A∧1Rb} ={1,3,5} 因为：（2,2）,（2,6）, （6,2）与2有关,所以 [2]={b|b∈A∧2Rb} ={2,6} 因为（3,3）,（1,3）,（3,1）,（3,5）,（5,3）与3有关,所以 [3]={b|b∈A∧3Rb} ={1, 3,5} 因为：（4,4）与4有关,所以 [2]={b|b∈A∧4Rb} ={4} 因为（5,5）,（1,5）,（5,1）,（3,5