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第二章 解析几何初步 §1 直线与直线的方程 第1课时 直线的倾斜角与斜率 【预习导航】 1.在直角坐标系中,对于一条与轴相交的直线,把轴(正方向)按逆时针绕着交点旋转到和直线重合所成的角,叫做直线的______,当直线与轴平行时,直线的倾斜角为______,倾斜角的取值范围为______. 2.若,则,两点所在直线的斜率______. 参考答案: 1.倾斜角,, 2. 【基础自测】 1.若一条直线的倾斜角为,则这条直线的斜率为( ) (A) (B) (C) (D) 2.若一条直线经过,两点,则这条直线的倾斜角为( ) (A) (B) (C) (D) 3.若经过,两点的直线的斜率为,则( ) (A) (B) (C) (D) 4.以下说法正确的是( ) (A)直线的倾斜角增大时,其斜率增大 (B)直线的倾斜角增大时,其斜率减小 (C)斜率为正的直线不可能经过第四象限 (D)过第一、二、三象限的直线斜率为正 参考答案: 1.C 2.A 3.B 4.D 【典例剖析】 题型1: 倾斜角与斜率的概念 例1 在下列四个命题中,正确的有____个. (1)在坐标平面内的任何一条直线都有倾斜角和斜率； (2)直线倾斜角的取值范围为； (3)若直线的倾斜角为,则此直线的斜率为； (4)若直线向上的方向与轴正方向所成角为,则直线的倾斜角为或. [思路分析]根据倾斜角与斜率的定义对各个命题逐一进行判断即可. [解]由于当直线的倾斜角为时,其斜率不存在,故(1),(3)均不对；由倾斜角的定义可知直线倾斜角的范围为,故(2)不对；对于(4),当时,直线的倾斜角为,符合题意；当直线向上的部分在轴左侧时,直线的倾斜角为,当直线向上的部分在轴左侧时,直线的倾斜角为,符合题意；当时,直线的倾斜角为,符合题意；故(4)正确. 综上可知,正确的命题个数为. [规律技巧]掌握直线的倾斜角与斜率的概念是解决此类问题的关键. [变式训练]下列叙述中不正确的是( ) A.若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都有且只有一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或 D.若直线的倾斜角为,则这条直线的斜率为； 解:当直线的倾斜角时,没有意义,从而可知D选项不正确,答案为D. 题型2: 直线的斜率公式及其应用 例2 求证:点,,共线. [思路分析]证明三点共线的方法也比较多,在此,我们利用斜率来进行证明. [解]由直线的斜率为 . 同理,直线的斜率为 . 故.即,直线,的倾斜角相等,且都经过点,故直线,重合,即结论成立. [规律技巧]对于三点共线的问题,可以通过直线斜率来处理,但需要注意直线斜率不存在的情况. [变式训练]若三点共线,求实数的值. 解:∵点共线, ∴,即. 解得. 题型3: 直线的倾斜角与斜率关系的应用 例3 设点在函数的图像上,且,求的最大值和最小值. [思路分析]由消元可将原问题转化为函数求解；由可看成点与坐标原点连线的斜率来求解.在此,我们用后者. [解]在函数的图像上的点为,的点为, 又由于,故表示线段上的点与坐标原点连线的斜率,而 ,, 故的最大值为,最小值为. [规律技巧]本题将代数式的几何意义进行了挖掘,是数形结合法的典型应用,值得大家学习和借鉴.另外需要注意的是,本题中的在临界状态与之间,而有的题目可能在临界状态之外,需要注意体会. [变式训练]设点在函数的图像上,且,求的取值范围. 解:在函数的图像上的点为,的点为, 又由于,故表示线段上的点与坐标原点连线的斜率,而 ,, 故或. 【知能迁移】 例4 已知过坐标原点的直线还分别过点,且平分,求实数的值. [思路分析]由斜率的定义知就是的斜率,再结合平分即可求解. [解]∵点到坐标原点的距离均为,即, ∴由平分可知直线与线段的交点是中点. ∴点坐标为,即. 又由斜率定义知值等于直线的斜率,也就是直线的斜率,故. [规律技巧]本题给出了平分两条直线所成角的直线斜率的求法.本题中对平面几何知识的应用值得关注. [变式训练]已知过坐标原点的直线分别过点,点在上,且平分,求直线的斜率. 解:设直线的斜率为,则点的坐标为,由平分可得: , 即. 解得. 【课时作业】 一、选择题 1.过点的直线的倾斜角为( ) (A) (B) (C) (D) 答案:A. 因. 2.若过点的直线的斜率为,则的值为( ) (A) (B) (C) (D) 答案:D. 由得. 3.若过两点的直线的倾斜角为锐角,则的取值范围为( ) (A) (B) (C) (D) 答案:B. 由可得. 4.下列各组中,三点共线的是( ) (A) (B) (C