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《方程的根与函数的零点》的教学过程设计
案例:“函数零点的存在性定理”的教学过程设计
通过刚才的学习我们知道,对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点.
研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点,也就是研究函数的图像与轴的交点情况.
问题1 如果把函数比作一部电影,那么函数的零点就像是电影的一个瞬间,一个镜头.有时我们会忽略一些镜头,但是我们仍然能推测出被忽略的片断.现在有两组镜头,第一行为第Ⅰ组镜头,第二行为第Ⅱ组镜头(如图11-4),哪一组能说明他的行程一定曾渡过河?
图11-4
第Ⅰ组能说明他的行程中一定曾渡过河,而第Ⅱ组中他的行程就不一定曾渡过河.
设计意图:通过现实生活中的问题,让学生体会动与静的关系,系统与局部的关系.
问题2 将河流抽象成轴,将前后的两个位置视为A、B两点.请问当A、B与轴处于怎样的位置关系时,AB间的一段连续不断的函数图像与轴一定会有交点?
A、B两点在轴的两侧时,如图11-5.
图11-5
设计意图:将现实生活中的问题抽象成数学模型,进行合情推理,将原来学生只认为静态的函数图像,理解为一种动态的过程.
问题3 A、B与轴的位置关系,如何用数学符号(式子)来表示?
A、B两点在轴的两侧,可以用来表示.
设计意图:由原来的图像语言转化为数学语言,培养学生的观察能力和提取有效信息的能力,体验数学语言转化的过程.
问题4 如图11-6,这是某地从0点到12点的气温变化图,假设气温是连续变化的,请用二种不同的方法将图形补充成完整的函数图像.这段时间内,是否一定有某时刻的气温为0度?为什么?
图11-6
设计意图:该问题起点低,直观性强,简单而内涵丰富,更重要的是结论开放,适合不同层次学生进行探究,是对前面问题的进一步深化.
这时学生可能的连接情况有:
(1)用线段连接(如图11-7、11-8等).
图11-7 图11-8 图11-9
(2)用曲线段连接,学生可能给出很多连接方法,如图11-9、11-10、11-11、11-12等.
图11-10 图11-11 图11-12
学生画出的图形为教学提供了丰富的资源,其中包括在区间 内有单一零点的函数(单调或不单调)和有多个零点的函数等.也有因为没有注意到条件要求而画错的图形(如图11-10),这有利于纠正部分学生对函数概念理解的偏差.
问题5 仔细观察零点附近图像的代数特征,你能发现什么规律吗?
设计意图:通过对函数值异号、函数值同号的观察与分析,可把学生引向本节课的重要结论的研究.
问题6 满足条件的函数图像与轴的交点一定在内吗?即函数的零点一定在内吗?
一定在区间上.若交点不在内,则就不是函数图像.
设计意图:让学生体验从现实生活中抽象成数学模型时,需要一定修正.加强学生对函数的动态感受,对函数的定义有了进一步的理解.
问题7 从图像与轴交点(即零点)的个数看,可以构造出任意有限个零点的连接图.那么,是否存在有无限个零点的连接图?
将线段设置为与轴重合,如图11-13,其图像是不间断的,显然该函数的零点为一个区间,有无限多个.
图11-13
依据教学时间,可选择的更多探究:
问题8 若,函数在区间上一定没有零点吗?
问题9 若,函数在区间上只有一个零点吗?
问题10? 能否增加条件,使得函数在区间内有且只有一个零点?
问题11 若在区间上图像连续不断的函数在上有一个零点,是否一定有?
问题12 若在区间上图像连续不断的函数满足,则函数在上的零点个数一定是有限个吗?
设计意图:有了前面学生研究出的各种连接图作基础,可以轻松地解决上述一系列问题,从而加深学生对本定理内容的理解.
【案例分析与评价】
问题是数学的心脏,提出问题引导学生学习,应当成为数学教学的一条基本原则.教师应在学生思维的“最近发展区”内,提出恰当的、对学生思维有适度启发的问题,引导学生思考和探索,让学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程,通过提出问题、分析问题和解决问题的过程,逐步培养学生的问题意识和创新精神.
本案例以问题方式教学设计所提出的问题对学生有真正的启发作用,达到跳一跳摘果子的效果孤立的问题对学生的思维发展作用不大,只有以“问题”的形式出现,在问题的引领下,学生进行系列的、连续的思维活动,才能不断攀登新的思维高度“问题链”目的明确层次前后联系
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