第四章多自由度系统(17-24).ppt

第四章多自由度系统的振动 定义 1、定义：需要用三个以上的独立坐标(x1,x2, x3,x4, q1 , q2等)才能描述其运动的振动系统。 2、多自由度系统是单自由度系统的深化和拓展。 3、多自由度系统能更好地反映系统结构的振动特性，将系统作为单自由度系统只是忽略了系统的其它自由度的振动，是一种近似。 几种常见的多自由度系统 概述： 本章内容 1、多自由度系统振动的基本理论 ：运动微分方程的建立(定义法)； 2、固有频率和振型(求法) ； 3、多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法 ； 4、用变换方法求多自由度系统动力响应 。 §4.1 运动微分方程 n自由度振动系统的运动微分方程可写成： 1、运动微分方程建立的关键：求得[M]，[C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]，[K]对角化的过程，可求得固有频率及其振型。 例4-2 例4-3 汽车振动的力学模型。 例4-3 例4-3 例4-3 运动微分方程的矩阵形式： (1) 定义法 设各个自由度的位移为{x}和系统的刚度矩阵为[K]，则各个自由度上所受到的外力为： (1) 定义法 设各个自由度的位移为{x}和系统的质量矩阵为[M]，则各个自由度上所受到的外力为： 例 4.4: 求四自由度模型的刚度矩阵 取yA，yB，y1，y2为描述系统运动的广义坐标，即 {x}={yA，yB，y1，y2}T 各个自由度的原点均取静平衡位置，以向上为坐标正方向。 求[K]中的子元素 (1)求[K]的第一列。设yA沿坐标正方向有一个单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，因此有 k11=k2， k21=0， k3l=-k2， k41=0 (2)求[K]的第二列。设yB沿坐标正方向有一个单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有k4被伸长，因此有k12＝0， k22＝k4， k32=0， k42=-k4 (3)求[K]的第三列。设yl沿坐标正方向有一个单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有k1被伸长，k2被压缩，因此有 k13＝-k2， k23＝0， k33=k2+k1， k43=0 (4)求[K]的第四列。设y2沿坐标正方向有一个单位位移，其余广义坐标位移为零，则只有k3被伸长，k4被压缩，因此有 k14=0， k24=-k4， k34=0， k44＝k3+k4 系统在广义坐标{x}={yA，yB，yl，y2}T下的刚度矩阵为： 例4-4 用影响系数法 例4-4 用影响系数法 例4.5 例4-6 例4-6 3.2.3 耦合及解耦 多自由度系统的运动微分方程中的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵中的元素相互影响，由此可能不是对角矩阵，这样微分方程存在耦合． 如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合；如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合。 则有 3.2.3 耦合及解耦 不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力，而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力，同样道理，弹性耦合，阻尼耦合一样 求解多自由度系统运动方程过程 求解多自由度系统运动微分方程的关键 ：如何消除方程的耦合，即解耦． 解耦的过程：就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一坐标系下同时成为对角矩阵，通常方法为使用坐标变换。 方程是否存在耦合和存在什么种类的耦合依赖于所选取的描述系统的广义坐标，并不是系统本身的性质。 求解微分方程过程：坐标变换 寻找一个新的描述系统运动的广义坐标系[u] ，在这个新的坐标系下，系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为对角矩阵。 寻求坐标,使矩阵对角化 设有可逆线性变换[u]，使得 ： §4.2坐标耦合和主坐标 ) 矩阵的逆 对于一个nxn的方阵A，果存在一个nxn的方阵B，使得AB=BA=In，则称B是A的逆，记为B=A-1，A则被称为非奇异矩阵。 矩阵的逆是相互的，A同样也可记为B=A-1，B也是一个非奇异矩阵。 任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。 §4.3 固有频率和主振型 §4.3 固有频率和主振型 2、固有频率和主振型 例4-8 求图示两自由度系统的固有频率和主振型。 例4-8 求图示两自由度系统的固有频率和主振型。 例4-8 求图示两自由度系统的固有频率和主振型。 例4-9 例4-9 系统的三 个主振型： §4-4 主坐标与正则坐标 §4-4 主坐标与正则坐标 §4-4 主坐标与正则坐标 §4-4 主坐标与正则坐标 2、振型矩阵与谱矩阵 2、振型矩阵与谱矩阵 主振型正则化： 3、主坐标与正则坐标 例4-11 特征方程为： 即： 解出： 得到： 求图示三自由度系统的固有频