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2012学年第一学期理科联赛试卷 八年级数学 一: 选择题(本大题满分5分，每小题30分) 1．如图，分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ） A.3个或4个 B．4个或5个 C.5个或6个 D．6个或7个 2.如图,点B是线段AC的中点,过点C的直线与AC成60°的角,在直线上取一点,使∠APB=30°,则满足条件的点有几个 ( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.不存在 3、已知一组正数的方差为：，则关于数据的说法：①方差为S2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S2。其中正确的说法是（ ） (A) ①② (B) ①③ (C) ②④ （D）③④ 4．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的 点称为整点，观察图中每正方形（实线）四条边上的整 点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线） 四条边上的整点的个数共有（ ） A、35个 B、40个 C、45个 D、50个 5．如图，在直角梯形ABCD中， AB∥CD，∠ABC=90°，动点P从点B出发，沿B→C→D的线路匀速运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 6、一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°α180°)。被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为 ( ) (A) 7 2° （B）108°或14 4° C）144° （D） 7 2°或144° 4.如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，A（10，0），C（0，3），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标是 。 5.如图，平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….则“17”在射线 上；“2007”在射线 上。 6. 若不等式组有解，那么a必须满足 . 2．(1)阅读理解： 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，△ABC中，若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围。 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD,再连结BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC 、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8,则1＜AD＜4. 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。 （2）问题解决： 受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E，DF交AC于点F，连结EF。 ①求证：BE+CF＞EF ②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明。 （3）问题拓展： 如图，在四边形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连结EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明。 参考答案 一 选择题 1. B 2. B 3.B 4.B 5.A 6.D 二．填空题 1.9900 2. 甲公司 3. [5，135°] 4. （4，3）（1，3）（9，3） 5. OE，OC 6. a - 2 三 解答题 1： （1）设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为a元和b元． 依题意得： 解之得 （答略） （2）设该单位购买A、B两种电器分别为m件和n件．则600m+850n=15750 , . ∵ A种电器不超过5件,∴ ≤5. ∴ n≥15，即可购买B种电器至少有15件． （3）设购买A种电器x件，则购买B种电器为(6-x)件，依题意得： , 解之得1≤x≤4 . ∵ x取整数，∴ x=1,2,3,4. 即共有4种购买方案: 2：证明：①延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG。 （或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD） ∴CF=BG DF