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2.41椭圆综合 【学习目标】 1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆的方程； 2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率）解决相关问题； 3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题. 【知识网络】 【要点梳理】 椭圆的定义及其标准方程 椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 椭圆的标准方程： 1.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2.当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 要点诠释：求椭圆的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设椭圆方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值. 要点二、椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆的位置关系 将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ＞0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 直线与椭圆的相交弦 设直线交椭圆于点两点，则 == 同理可得 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 椭圆的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”. 椭圆的实际应用与最值问题 对于椭圆的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用椭圆定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到椭圆方程，利用方程求解 椭圆中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种： 利用定义转化 利用椭圆的几何性质 转化为函数求最值 【典型例题】 类型一：椭圆的方程与性质 例1.若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题知所以，选D 【总结升华】椭圆的方程要注意焦点轴的不同，标准方程的形式不同，另外要注意对应的a,b,c的不同 举一反三： ，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【变式】已知椭圆过两点求椭圆的标准方程. 【答案】设椭圆的方程为因为在椭圆上 所以有 解得 所以所求椭圆方程为 例2. 已知方程表示椭圆，求的取值范围． 【解析】由得，且． ∴满足条件的的取值范围是，且． 【总结升华】本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆. 举一反三： 【变式】已知椭圆的方程为，焦点在x轴上，则m的取值范围是(　　) A．－4≤m≤4 B．－4m4且m≠0 C．m4或m－4 D．0m4 【答案】B 例3 .的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 【解析】 （1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有，故其方程为． （2）设，，则． ① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 【总结升华】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 举一反三： 【变式】已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 【答案】如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 类型二：直线与椭圆的位置关系 例4.已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直经y＝t与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P. (1)求椭圆