第八章 图论8.1.pptVIP

定义8.1.3 设e = (u, v)是无向图G＝(V, E)的一条边,则称u和v是边e的端点,称u和v是相邻的,同时称顶点u和v关联于边e。 设e =〈u, v〉是有向图G＝(V, E)的一条边,则称u和v是有向边e的端点, 其中u是边e的起点, v是边e的终点，称u和v是相邻的,同时称顶点u和v关联于边e。 § 8.1 图的基本概念 2. 相邻 定义8.1.4 （1）设e 1和e 2是无向图G＝(V, E)的两条边, 如果e 1和e 2至少有一个公共端点，则称边e 1和e 2是相邻的。 （2）设e 1和e 2是有向图G＝(V, E)的两条有向边, 如果e 1的终点是e 2的起点，则称边e 1和e 2是相邻的。 § 8.1 图的基本概念 定义8.1.5 （1）如果图中某一个顶点没有一条边以其为端点，则称该顶点是孤立点。 （2）如果图中有一条边其两个端点重合，则称该边是环。 （3）图中不与任何边相邻接的边称为孤立边。 § 8.1 图的基本概念 我们常常需要关心图中有多少条边与某一顶点关联，这就引 出了图的一个重要概念——顶点的度数。 定义8.1.6 设G＝(V, E)是无向图或有向图， v是G的顶点，称以v为端点的边的数目(每个环算2次)为该顶点的度数或度，记为d ( v )。 3. 顶点的度数 定义8.1.7 在有向图中, 以v为终点的边数称为结点v 的入度，记为 ; 以v为始点的边数称为结点v的出度，记为 。结点v的入度与出度之和称为结点v的度数，记为d(v)。 § 8.1 图的基本概念 例 2 4 5 1 3 6 G1 顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0 例 1 5 7 3 2 4 G2 6 顶点5的度：3 顶点2的度：4 定理 8.1.1 设 G＝(V, E) 是无向图或有向图，G中所有顶点度数的总和等于G的边数的两倍，即 证明: 因为每条边都与两个结点关联，所以加上一条边就使得各结点度数的和增加 2，由此结论成立。 § 8.1 图的基本概念 定理 8.1.2 对于任意一个图 G＝(V, E) ，其度为奇数的顶点的个数是偶数。 § 8.1 图的基本概念 定理 8.1.3 对任一个有向图 D＝(V, E) ，其所有顶点的出度之和等于所有顶点的入度之和，即 4. 多重图、简单图和完全图 § 8.1 图的基本概念 定义8.1.8（1）设u和v是无向图G＝(V, E)的两个顶点。如果G中有两条或两条以上的边分别以u和v为端点, 则称这些边是平行边。 （2）设u和v是有向图D＝(V, E)的两个顶点。如果D中有两条或两条以上的边分别以u和v为端点, 且它们的起点相同，终点也相同，则称这些边是有向平行边，简称平行边。 定义8.1.9 （1）包含平行边的图称为多重图。 （2）既无平行边又无环的图称为简 单图。 （3）非多重图称为线图； § 8.1 图的基本概念 G1、G2是多重图 G3是线图 G4是简单图 § 8.1 图的基本概念 定义8.1.10（1）设G＝(V, E)是无向简单图且有n个顶点, 如果G中每个顶点都与其余n-1个顶点相邻，则称G是无向完全图，记为Kn。 （2）设D＝(V, E)是有向简单图且有n个顶点, 如果D中每对顶点 u, v, u≠v,既有有向边〈u, v〉又有有向边〈v, u〉，则称D是有向完全图，记为Kn。 例 2 1 3 2 1 3 有向完全图 无向完全图 § 8.1 图的基本概念 性质8.1.1 （1）n个顶点的无向完全图有 条边。 （2）n个顶点的有向完全图有 条边。 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 上页 下页 结束 返回 首页 铃 第八章 图论(Graph Theory) 初步 图论学科简介 （1） 图论是组合数学的一个分支，它交叉运用了拓扑学、群论、数论等学科，有时将其归为离散数学的一个分支。 哥尼斯堡七桥问题 图论是组合数学的一个分支，它交叉运用了拓扑学、群论、数论等学科，有时将其归为离散数学的一个分支。 图论之父 莱昂哈