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22届高数竞赛
中国石油大学（华东）
第二十二届高等数学竞赛试卷
专业班级：
学 号：
姓 名：
成 绩：
页号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分
说明：
1. 答案必须写在题目指定的空白处, 否则无效.
2. 题目所在页背面为草稿纸.
3. 试卷正文共7页.
中国石油大学（华东）教务处、学生工作处、数学学院主办
基础数学系承办
2008年6月8日
一、填空题（每小题5分，本题共50分）：
1. .
解题过程是：
2. .
解题过程是：
3. ，则的零点个数为： .
解题过程是：
4. .
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5..
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10.
解题过程是：
二、计算题（每小题6分，本题共42分）：
解题过程是：
2. .
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3.
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解题过程是：
5.
解题过程是：
6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分
与曲面S的形状无关.
解题过程是：
7. 设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积.
解题过程是：
三、证明题（本题8分）：
中国石油大学（华东）
第二十二届高等数学竞赛试卷参考答案
一、填空题（每小题5分，本题共50分）：
1. .
解题过程是：
2. .
解题过程是：
.
3. ，则的零点个数为： 1 个 .
4. .
5..
解题过程是：
6. .
.
解题过程是：
8. .
解题过程是：
.
9. .
解题过程是：
10.
解题过程是：
.
二、计算题（每小题6分，本题共42分）：
2. . .
解题过程是：
2.
解题过程是：
解题过程是：
5.
解题过程是：
解：
构造拉格朗日函数：
条件极值驻点为：，，最远点为，最近点为
6.设S是以L为边界的光滑曲面，试求可微函数使曲面积分
与曲面S的形状无关.
[解]以L为边界任作两个光滑曲面，它们的法向量指向同一侧，，记为与所围成的闭曲面，取外侧，所围立体为，则，由高斯公式得，由的任意性得, 即解线性非齐次方程得.
7. 设一球面的方程为，从原点向球面上任一点Q处的切平面作垂线，垂足为点P，当点Q在球面上变动时，点P的轨迹形成一封闭曲面S，求此封闭曲面S所围成的立体的体积.
[解]设点Q为，则球面的切平面方程为垂线方程为代入及切平面方程得，，即（P点轨迹）.化为球坐标方程得.
.
三、证明题（本题8分）：
证：由定积分中值定理，可知 至少存在一点
又由
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