微分方程(罗兆富等编)第0章第0章微分方程模型.pptVIP

设在时间t(年)C14的存量为x,由上述原理可得微分方程 对于物质衰变速度的一种度量就是物质的半衰期, 它定义为一定数量的放射原子衰变到一半时间所需要的时间. 其中?0是衰变常数,式中负号表示C14的存量x是递减的. 设有机体死亡时间为t0=0, C14的含量为x0, 则得到初值问题 半衰期 这里 表示有机体死亡时C14的变化率； 表示有机体在t时刻C14的变化率. C14测定法认为, 在地球周围的C14 的百分比含量是基本不变的, 因而认为现代有机体中C14的的衰变速度与古代有机体中C14的的衰变速度相同, 所以可以用现代同类有机体死亡时C14 的变化率代替 我们测出土木碳标本的 (次/分) (次/分) (年) 代入, 得 (年) 这样,就估算出了马王堆一号墓的年代大约是2000年前的. ■ 所以马王堆墓是汉墓. 例4. 战争模型 影响战争胜负的因素有很多, 兵力的多少和战斗力的强弱是两个主要的因素. 士兵的数量会随着战争的进行而减少, 这种减少可能是因为阵亡、负伤与被俘, 也可能是因为疾病与开小差, 分别称之为战斗减员与非战斗减员. 士兵的数量也可随着增援部队的到来而增加. 从某种意义上来说, 当战争结束时, 如果一方的士兵人数为零, 那么另一方就取得了胜利. 如何定量地描述战争中相关因素之间的关系呢？比如如何描述增加士兵数量与提高士兵素质之间的关系. (1)模型假设 现有x、y两支部队相互交战, 设x(t)和y(t)分别代表这两支部队在t时刻的力量, 其中t是从战斗开始时以天为单位计算的时间. ①假设x(t)和y(t)是t时刻双方士兵的人数； ②假设x(t)和y(t)是连续变化的, 且具有任意阶的连续导数； ③每一方的战斗减员率取决于双方的兵力, 分别用f(x,y)和g(x,y)表示； ④每一方的非战斗减员率(由疾病、开小差以及其它非战事因素所引起的损失率)与本方的兵力成正比, 减员系数分别用α和β表示且α,β0； ⑤每一方的增援力量是兵员数量计算的每天补充率, 设为给定的函数, 分别用u(t)和v(t)表示. (2)建立模型 根据模型假设, 借助于平衡法则, 可以得到一般的作战模型如下： (**) 下面针对不同的战争类型来讨论战斗减员率 f(x,y) 和g(x,y) 的具体表示的具体形式,并分析影响战争结局的因素. 模型一 常规战争: 平方律 x方士兵公开活动, x方的战斗减员率只与y方兵力有关, 简单地设为f与y成正比, 即f=ay, 其中a表示y方平均每个士兵对x方士兵的杀伤率, 称为y方的战斗有效系数. 假设x、y双方都用常规部队作战,则可进一步这样考虑: 类似地, y方的战斗减员率为g=bx, 其中b为x方的战斗有效系数. (**) 于是, 由(**)知, 常规战争模型便是 若双方均没有增援与非战斗减员 其中x0,y0为双方战前的兵力. 平方律! (**) 模型二 游击战争: 线性律 假设x、y双方都用游击部队作战,则根据兰彻斯特的研究, 游击部队双方的战斗减员率是非线性的,其论据是: x方士兵隐藏在y方士兵看不到的某个面积为Sx的隐蔽区域R内活动, y方士兵不是向x方士兵开火,而是向区域R内射击, 并且不知道杀伤情况. 有理由认为,x方的战斗减员率应与区域R内自己人员数量成比例, 越大, 被敌人杀死的概率也越大. 另外, 与y方的兵力也成比例,因此,可以简单地假设x方的战斗减员率,其中c为y方的战斗有效系数. 同理,y方的战斗减员率g=dxy,其中d为x方的战斗有效系数. (**) 于是, 由(**)知, 游击战争模型便是 若双方均没有增援与非战斗减员 其中x0,y0为双方战前的兵力. 线性律! (**) 模型三 混合战争: 抛物律 假设作战的x、y双方一方是游击部队, 另一方是正规部队, 比如x方是游击队, y方是正规部队. 借鉴模型一与二的思想, 可得混合战争模型 若双方均没有增援与非战斗减员 其中x0,y0为双方战前的兵力. 抛物律! 例5. 波动方程 数学物理方程中最重要的问题之一是拉紧的弦的振动问题. 这不仅是由于它简单,更重要的是由于它经常出现在许多数学物理问题的分支中, 现在偏微分方程理论中都