镇江一中高二(上理)数学期末专题复习(轨迹、抛物线).docxVIP

镇江一中高二（上理）数学期末专题复习（轨迹、抛物线）1.已知动圆过点且与直线相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.解：（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分证明：设， ∵， ∴ ，∴ 的斜率分别为，故的方程为，的方程为 …7分即，两式相减，得，又，∴ 的横坐标相等，于是………………10分2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过焦点F，且与直线OA垂直的直线的方程；(3)设过点M(m,0)(m0)的直线交抛物线C于D，E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．解：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2＝2px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p＝1.因此，抛物线C的标准方程为y2＝2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1.因此，所求直线的方程是x＋y－＝0.(3)法一：设点D和E的坐标分别为(x1， y1)和(x2，y2)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.将x＝＋m代入y2＝2x，有ky2－2y－2km＝0，解得y1,2＝.[来源:Z。xx。k.Com]由ME＝2DM，知1＋＝2(－1)，化简得k2＝，因此DE2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(y1－y2)2＝＝(m2＋4m)．所以f(m)＝(m0)．法二：设D，E，由点M(m,0)及＝2得t2－m＝2，t－0＝2(0－s)．因此t＝－2s，m＝s2，所以f(m)＝DE＝ ＝(m0)．3.过直线x＝－2上的动点P作抛物线y2＝4x的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)若切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)求证：直线AB恒过定点．证明：(1)不妨设A(t，2t1)(t10)，B(t，2t2)(t20)，P(－2，m)．因为y2＝4x，所以当y0时，y＝2，y′＝，所以k1＝.同理k2＝.由k1＝＝，得t－mt1－2＝0.同理t－mt2－2＝0.所以t1，t2是方程t2－mt－2＝0的两个实数根．所以t1t2＝－2.所以k1k2＝＝－为定值．(2)直线AB的方程为y－2t1＝(x－t)，即y＝x＋2t1－，即y＝x＋，由于t1t2＝－2，所以直线方程化为y＝(x－2)，所以直线AB恒过定点(2,0)．4.对称轴为坐标轴，顶点在坐标原点的抛物线C经过两点A(a,2a)，B(4a,4a)(其中a为正常数)．(1)求抛物线C的方程；(2)设动点T(m,0)(ma)，直线AT，BT与抛物线C的另一个交点分别为A1，B1，当m变化时，记所有直线A1B1组成的集合为M，求证：集合M中的任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．解：(1)当抛物线焦点在x轴上时，设抛物线方程y2＝2px，∵∴p＝2a.∴y2＝4ax.当抛物线焦点在y轴上时，设抛物线方程x2＝2py，∵方程无解，∴抛物线不存在．综上抛物线C的方程为y2＝4ax.(2)设A1(as2,2as)，B1(at2,2at)，T(m,0)(ma)．∵kTA＝kTA1，∴＝，∴as2＋(m－a)s－m＝0.∵(as＋m)(s－1)＝0，∴s＝－，∴A1.∵kTB＝kTB1，∴＝.∵2at2＋(m－4a)t－2m＝0，∴(2at＋m)(t－2)＝0.∴t＝－.∴B1.∴直线A1B1的方程为y＋2m＝.∵直线的斜率为－在(a，＋∞)单调，∴集合M中的直线必定相交．∵直线的横截距为－在(a，＋∞)单调，纵截距为－在(a，＋∞)单调，∴任意两条直线都相交且交点都不在坐标轴上．5.已知斜率为k(k≠0)的直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F且交抛物线于A，B两点．设线段AB的中点为M.(1)求点M的轨迹方程；(2)若－2k－1时，点M到直线l′：3x＋4y－m＝0(m为常数，m)的距离总不小于，求m的取值范围．解：(1)焦点F(1,0)，直线AB方程为y＝k(x－1)，因为k≠0，所以x＝＋1.由得y2－y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，显然Δ0恒成立，则y0＝＝.又x0＝＋1，消去k ，得y＝2(x0－1)，所以点M的轨迹方程为y2＝2(x－1)．(2)由(1)知，点M.因为m，所以d＝＝.由题意，得≥，m≤＋＋2对－2k－1恒成立．因为－2k－1时，＋＋2的最小值是－，所以m≤－.6.在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线x2＝4y上有两个动点A，B，且满足＝λ， 过A，B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.(1)求：·的值；(2)证明：·为定值．解：(1)