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例说一类与数列求和有关的不等式的证明方略. 李新伟 广东省南雄市第一中学 512400 摘 要：与数列求和有关的不等式在近年高考题中频繁出现，但却是考生感到困难的一类题目。这类题虽然无固定的模式和方法，但还是可以总结出若干解题方向和策略。主要有先求和后放缩、先放缩后求和策略。 关键词：数列；求和；不等式 考题频现考能力，细细品味有规循 近几年，形如“，，其中为常数”的与数列求和有关的不等式频频出现在各地高考或高考模拟试题中，而且常常是压轴题、创新题，如2004年全国卷三22（Ⅲ）、2005年辽宁19（2）、2006年全国Ⅰ理22（2）、2007年浙江理21（3）等等。由于这类题涉及多知识、多方法的交汇，条件与结论间的跨度大，解这类题常常要用到放缩法，而对解题方向的判断和放缩程度的把握要求高，能充分检测学生观察、分析、联想、灵活和综合运用所学知识分析解决问题能力，因此受到命题者青睐。学生面对这类试题往往感到难度大，无从入手，甚至有如坠云里雾里之感。 不过，虽然这类问题确有较大难度，但细心分析还是有规律可循。从解题方向上看主要有：（1）先求和再放缩 ；（2）先放缩再求和；（3）利用数学归纳法证明；（4）构造函数证明等。从解题策略上看，主要应重视对不等式结构特征和通项特征进行细微分析，初步明确证题方向。可先求和再放缩的题目，一般较简单；而需要先放缩再求和的题目一般难度较大，这类题往往要从待证的不等式出发，逆向探路，放缩转化，先变为等差数列求和、等比数列求和、裂项求和或错位相减法求和等我们熟悉的数列求和问题，最终通过适当的变形或放缩获证。 2．执果溯因探路径，放缩求和巧证明 2．1先求和，再放缩证明 例1(2005年高考湖南（文）16)已知数列为等差数列，且，， （1）求数列的通项公式；（2）证明。 解：（1）过程略，。 （2）证明：∵对任意，恒有， ∴ 。 评析：对于与数列求和有关的不等式，若能先求和，我们常常会先求和，再考虑用放缩法证明。能先求和的这类题一般较简单，因此常为文科考题。 2．2先放缩，再求和证明 对于求和困难的形如“或，其中为常数”的不等式，很多情况下用数学归纳法也往往难于凑效。这时我们常用先放缩再求和证明或将其加强为形如或的不等式，再考虑用数学归纳法证明。 2．2．1逐项放缩，再求和证明 例2．已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为。 （1）用表示；（2）若，记，证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（3），，是数列的前项和，证明：。 解：（1）过程略，。（2）过程略，。 （3）由（2）知，于是。 ∵, 当时，显然， 当时，， ∴ 综上可得，对于任意，。 评析：考虑到数列的通项公式中有指数式，而待证不等式右边为常数，于是联想到等比数列求和问题，我们尝试利用递推放缩的方法构造等比数列。将非特殊数列向特殊数列转化，这是本文的一个主体思想和关键策略。 2．2．2局部放缩，再求和证明 例1（3）也可以采取局部放缩，再求和证明。 另证：易得，，，，于是猜想当时，。 由于，所以下面只需证。下面利用二项式定理证明： 因为当，时， ∵， ∴。 所以，当时，显然； 当， 。 故对于任意，。 评析：从数列的通项结构我们猜想应将放缩为一个等比数列。通过计算，我们从第三项开始通过放缩发现了数列的项所呈现的规律性，对于本题的证明，这是重大突破。此外，本题从第3项开始放缩，恰当使用了局部放缩。G.波利亚曾说：“先猜，后证——这是大多数的发现之道。”先猜后证，也是我们常用的数学解题方法和策略。 2．2．3并项放缩，再求和证明 例3．由原点O向已知的三次曲线引切线，切于不同于点O的点，再由引此曲线的切线，切于不同的点，如此继续作下去，……，得到点列（）。试解答下列问题： （1）求的值；（2）求数列通项公式；（3）若，是数列前项和，求证：。 解：（1）过程略，易得。（2）过程略，易得（）。 （3）∵, ∴。 当为偶数时， ， 又当时，，即，于是 ， ∴ 。 当为奇数时，因为，偶数，所以有 。 综上可知，。 评析：由于数列的通项公式的分母中有随的奇偶+1与-1交替出现的项，于是单项放缩困难，而采取奇偶项并项放缩，则恰好利用其奇偶项特点，成功放缩。 例4．已知数列和满足，，，是数列前项和。 （1）求数列的通项公式；（2）设，求证：； （3）求证：对任意的，有。 解：（1）过程略，。（2）证明略。 （3）方法一（数学归纳法），略。 方法二（并项放缩法）： 当时，； 当，时， ， 另一方面， ， 综上可知，对任意的，有。 评析：从待证不等式的特点和项数两方面产生了并项放缩的想法。并项放缩常常涉及如何并项、怎样放缩等问题，因此，并项放缩比逐项