2_5随机变量函数分布 .pptVIP

§２.4 随机变量函数的分布 §2.4 随机变量函数的分布 例1. 已知X的概率分布为  X -1 0 1 2 5 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25求 (1) Y=2X+1 ；(2) Y=X2 的概率分布. 解: (1) Y -1 1 3 5 11 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25 一般地, (1)若yk的值全不相同，则P{Y= yk}=P{X= xk}. 二 、连续型随机变量函数的分布 例2 设X～N（μ,σ2），试证 服从N（0，1）. 1.分布函数法 （1） 若X～N(μ,σ2)，则Y= aX+b(a≠0)也服从正态分布. 2. 公式法 定理 设连续型随机变量X具有概率密度fX(x) ，-∞＜x＜∞, 又设函数y=g(x)处处可导且恒有g’(x)0(或恒有g’(x)0),则 Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为 例5. 设X～U(-π/2,π/2)，求Y= sinX的概率密度。 解: X的概率密度为 《概率统计》 下页 结束 返回 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 下页 一 、离散型随机变量函数的分布 随机变量的函数 设y = g(x)为 x的函数，X为随机变量，则 Y= g(X) 也是一个随机变量，且当X取值x时，Y取值 y = g(x). 下页 如 二 、连续型随机变量函数的分布 (2) Y 0 1 4 25 P 0.1 0.3+0.2 0.15 0.25 一 、离散型随机变量函数的分布 若X是离散型的，则Y=g(X)也是离散型随机变量，且 它的取值为yk=g(xk)，其分布可以直接由X的分布求得. 下页 则 Y y1 y2 … y k … P p1 p 2 … pk … 即,若X的概率分布为 X x1 x2 … x k … P p1 p 2 … pk … (2)若yk中有相同的情形，则应把那些相同的值加以合并, 再根据加法定理把对应的概率pk相加. 下页 练：已知X的概率分布为： X -2 -1 0 1 pk 1/6 2/6 1/6 2/6 求 Y=X+1 ；Y=2X2+1 的概率分布。 下页 则 FY（y）= P{Y≤y}=P{ } 所以 而 于是 = P{ X ≤ σy+ μ} = FX（ σy+ μ ） Y的分布函数为FY（y），概率密度为fY（y） 证明： 设X 的分布函数为FX（x），概率密度为fX（x）， 一般地，若已知X的概率密度为fX(x),求其函数Y=g(X) 的概率密度fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y)； 20 由 fY(y) = F ′(y) , 求出 fY (y). 例3.设随机变量X的概率密度为fX(x)，求线性函数Y=aX+b (a,b是常数,且a≠0) 的概率密度fY(y). 下页 解: ， a＜0 ， a＞0 , a＜0 ，a＞0 = 下页 即Y=aX+b(a≠0) ～N(aμ+b,(aσ)2). 服从标准正态分布，即Y～N(0,1). （*）式称为随机变量X的标准化. 下页 特别地： 由上例 其中Y=aX+b (a,b是常数,且a≠