2011届数学高考复习全套精品PPT课件：第14单元第3节 离散型随机变量均值与方差 .pptVIP

第十四单元 随机变量及其分布 第三节 离散型随机变量的均值与方差 * 知识体系 基础梳理 … p … x 均值 数学期望 1. 离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值 称 为随机变量X的 或 ，记为E(X)或μ,即E(X)= ,其中 是随机变量X的可能取值， 是概率， ≥0,i=1,2,…,n, 它反映了离散型随机变量取值的 . 平均水平 （2）方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布列如上表所示， 则 (μ=E(X))描述了 (i=1,2,…,n)相对于均值μ的偏离程度，故 （其中 ≥0,i=1,2,…,n, )刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差.记为 或 ,也可用公式V(X)= 计算，其算术平方根称为X的标准差，即 . 2. 均值与方差的性质 （1）E(aX+b)=aE(X)+b; (2)V(aX+b)=a2V(X)(a、b为实数). V(X) σ=V(X) 3. 两点分布与二项分布的均值、方差 （1）若X服从两点分布，则E(X)= ,V(X)= . (2)若X～B（n,p）,则E(X)= ,V(X)= . 典例分析 题型一 求随机变量的均值 【例1】某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班的同学和2个B班的同学；乙景点内有2个A班的同学和3个B班的同学，后由于某种原因，甲、乙两景点各有一个同学交换景点参观.求甲景点A班同学数ξ的分布列及期望. p p(1-p) np np(1-p) 分析 ξ所有可能的取值为1,2,3. p 3 2 1 ξ 解 设甲景点内A班同学数为ξ,则 P（ξ=1）= ,P(ξ=2)= P(ξ=3)= 故ξ的分布列为 ∴E(ξ)= 学后反思 求离散型随机变量X的期望的步骤为： （1）理解X的意义，写出X可能取的全部值； （2）计算出X取每一个值时的概率； （3）写出X的分布列； （4）利用公式E(X)= 求出期望. 举一反三 1. (2009·安徽)某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区.B肯定是受A感染的.对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是 .同样也假定了D受A、B和C感染的概率都是 .在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量.写出X的分布列（不要求写出计算过程），并求X的均值（即数学期望）. 解析: 随机变量X的分布列是 X的均值E(X)= p 3 2 1 x 题型二 求随机变量的方差 【例2】编号1，2，3的三位学生随意入座编号1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X. （1）求随机变量X的概率分布列； （2）求随机变量X的期望与方差. 分析 （1）随机变量X的意义是对号入座的学生个数，所有取值为0,1,3.若有两人对号入座，则第三人必对号入座.由排列与等可能事件概率易求分布列; （2）直接利用数学期望与方差公式求解. P 3 1 0 X 解 （1）P（X=0）= ,P（X=1）= , P（X=3）= , 故X的概率分布列为 (2)E(X)= V(X)= 学后反思 求离散型随机变量X的方差的步骤： （1）写出X的所有取值； （2）计算P（X=xi）; (3)写出分布列，并求出期望E(X)； （4）由方差的定义求出V(X). 说明： 若X～B(n,p)，则E(X)=np，V(X)=np(1-p)；若X～H(n,M,N），则E(X)= ,V(X)= 举一反三 2. 设在15个同类型的零件中有2个次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出后不再放回.若用X表示取出次品的个数. （1）求X的分布列； （2）求X的均值E(X)和方差V(X). 解析： (1)P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= . 故X的分布列为 (2)X的均值E(X)和方差V(X)分别为 E(X)= ; V(X