概率论4-1大数定律与中心极限定理.pdfVIP

第四章 大数定律与中心极限定理 大数定律是反映随机变量算术平均值与 频率稳定性的一组定律，它们奠定了以频率 稳定值作为事件概率的理论基础。中心极限 定理是描述大量随机变量和服从或近似服从 正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布 在概率论中的重要地位。 4.1节 大 数 定 律 一、问题的引入 二、几个基本定义 三、几个基本定理 一 问题的引入 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进 行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从 随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机 现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由 此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广 泛，其中最重要的有两种:大数定律与中心极限定理.下 面我们先介绍大数定律. 二 几个基本的定义 大数定律的客观背景——大量的随机现 象中平均结果的稳定性，如大量抛掷硬币正 面出现频率；生产过程中的废品率；字母使 用频率等等。 首先我们引入随机变量序列的几个概念. 定义1 (独立同分布) 如果对于任何n 1, X , X ,, X 是相 1 2 n X , X , ,X , 互独立的,那么称随机变量序列 是相互独 1 2 n 立的。 此时,若所有的X i 都有共同的分布,则称X 1,X 2 , , X n , 是 独立同分布的随机变量序列. 定义2 {X } E (X ) (大数定律) 设 为一随机变量序列,并且 存在, n n 1 n 令X n ∑X i . 若对于任意的ε0 ,lim P {| X n −E (X n ) |≥ε} 0 则称 i 1 n→∞ {X } 随机变量序列 服从大数定律. n 三 几个基本定理 切比雪夫定律 ：设X为随机变量, E (X ) μ, D (X ) σ2 则对 切比雪夫定律 2 2 σ σ P (| X −μ|≥ε) ≤ P (| X − | ) 1− ε μ ε 任意正数 ,有 2 或 2 ε ε 例1 进行独立重复的试验,设在每