傅立叶变换 Read.ppt

傅立叶分析理论郑作亚 1.傅立叶分析理论 傅立叶分析理论是傅立叶级数、傅立叶函数、傅立叶变换（连续和离散傅立叶变换）短时窗口、快速傅立叶变换几个相互区别而又明显相似的领域的结合。 广泛应用于实际的数学分支，如热传导、波的传播、电路分析、振动、控制系统分析、光学系统和电子电路分析。其如此广泛应用的主要原因就是傅立叶核exp 是一个N阶线性微分方程的解，这个方程是用来描述上述各种物理现象的数学模型。 对现代数学理论的发展起到了积极的推动作用。伯努利在研究绳子振动，论证了半个周期上的无限个正弦函数的线性组合能够表示一个连续函数。 傅立叶变换将图象或信号进行相位和振幅的变换。 傅立叶分析有200多年历史，以计算机出现的前后来划分，出现前，傅立叶变换用解析的方法计算，之后 数字计算机与离散F，形成傅立叶函数的数字化分析。但是，其需要大量的数学运算，不实用。60年代中期，快速傅立叶变换（FFT）的提出，70年代，计算机速度、体积、价格等。 至目前，傅立叶分析仍然是一种重要的数学分支和数学工具。 1.1 傅立叶级数 形式：矩形形式定义的周期函数的傅立叶级数， K=0时， 指数形式表达的傅立叶级数，该形式更接近函数的傅立叶变换表达式。三角锯齿函数和方波函数等。 当讨论傅立叶级数时要注意的问题： （1）函数必须满足什么条件，才能保证傅立叶级数系数的积分表达式存在？ （2）如果能确定积分表达式存在，是否能用已有的积分技术以解析的方式求解？ （3）如果积分存在，也能求解，当用这些系数把级数的各项加到一起，能否保证它们收敛到生成函数。 满足条件： 必须是周期函数。 F(t+T)=f(t), f(t)是周期函数，T为周期。两个以T为周期的函数的和、差、积、商仍是周期函数。特别需要说明：如果知道某区间上的特性，根据周期性，就可以知道整个区间上的特性。 对于一个周期函数 ，可以将积分区间平移任意一个量而不影响积分值。 存在性和收敛性（正交函数系和最小均方误差） 一般正交函数系 最小均方误差 贝塞尔不等式与平均收敛 所谓完备，就是对于任何属于某一领域内的函数，在区域内都可以表示成傅立叶级数展开的形式。 正交系是完备系的充要条件是任何平方可积函数的傅立叶级数平均收敛到该函数。 完备系的特性 1）唯一性 2）正交性 3）级数展开性 三角正交函数系，证明了将积分区间平移任意一个量而不影响积分值。 复指数正交函数系，证明傅立叶的可逆变换 黎曼-勒贝格引理，是推导傅立叶级数的收敛条件的有用工具。 狄利克核函数，是推导傅立叶级数的点态收敛和Gibbs现象的关键。 傅立叶级数的点态收敛 Gibbs现象，在断点处仅用级数的有限项来表示函数的傅立叶级数的收敛问题。 复函数的傅立叶级数，一个复函数的傅立叶级数系数就是复函数实部和虚部的傅立叶级数系数的简单线性组合。 傅立叶级数的性质： 1）线性性质 2）第一移位定理：平移 3）第二移位定理：乘函数 4）偶函数，系数情况正弦系数为0 5）奇函数，余弦系数为0 1.2 傅立叶变换 为什么要进行变换： 1）一般来说，原始资料难以直接分析，而我们想要得到信号的某些信息或属性，如局部信息或全局信息，需要对原始资料进行变换 2）变换可以从信号中得到进一步信息，如频率等， 傅立叶级数即周期函数的频域表达式。那么，未必是周期函数的频域表达式就称之为傅立叶变换。 上式为傅立叶正变换，下式为傅立叶反变换或逆变换，它们之间的变换称为傅立叶变换。 它们之间存在着一种映射关系。这里可以看出他们的唯一性与互反性。 R指的是整个实数域。 傅立叶变换存在的条件 首先解释一下绝对可积的概念，如果函数f在整个区间[a,b]内是可积的，如果存在一个正常数M，有 则该函数在区间[a,b]上是绝对可积的。 存在条件就是，如果函数f(t)在整个实数域是绝对可积的，则其傅立叶变换存在，且其变换是一致有界的。 傅立叶变换的性质 线性组合 连续性，在整个区间的连续性 无穷大性：在绝对值范数意义下，傅立叶变换后所得函数在整个区间上的积分为0。 对偶性，傅立叶的导数等于原函数乘以 的傅立叶变换，一个函数的导数的傅立叶变换等于原函数的变换乘以 ，也就是说，在时域求导对应于在频域相乘，而在频域求导对应于在时域相乘。 将信号从时间空间转换到频率空间； 由于积分是在整个时间空间上进行的，因此，变换后信号会失去所有的时间信息； Fourier变换难以将不同时间段上几个主要频率信号区分开来； 因此， Fourier变换适用于分析时间无关的信号； Fourier变换侧重频率分解。 对称性 对称性：如f(t)是绝对可积的，其傅立叶变换为F(w), 1) 如果f(t)是实的偶函数，F(w)