二元关系BinaryRelation.PDF

二元关系 Binary Relation 中山大学杨超 yangch8@mail.sysu.edu.cn 有序对 ● 有序对(x1,y1) 和(x2,y2) 相等的充分必要条件是 ● x1=x2 并且 y1=y2 ● 注：有序对可以用集合来定义。 (a,b) = { a, {a,b} (c,d) = { c, {c,d} (b,a) = { b, {a,b} 笛卡尔乘积 ● 给定集合A 和B ，它们的笛卡尔乘积定义为 ● A ×B ={a , b | a ∈A , b ∈B } ● ● ● 如 {a , b }×{1,2,3}= ● {a , 1, a , 2 , a , 3, b , 1, b , 2 , b , 3} ● （二元）关系 ● A,B 是两个集合，则 的子 A ×B ● R 称为从A 到B 的一个( 二元) 关系 。 ● ● 若 (a,b) 是R 的一个元素，我们就认为a 和 b 具有关系R 。有时候也记作 aRb. ● ● 定义域，值域 ● ● 定义域( 前域) ● dom R ={ x | 存在y, 使得 xRy ● ran R ={ y | 存在 x ，使得 xRy ● ● 映射（函数）是特殊的关系：(1)dom R =A ● (2) 对每个A 中的元素x ，有唯一的B 中元素 y ，使得 xRy A 上的二元关系 ● 从A 到A 的二元关系称为 ● A 上的二元关系 ● ● 如：空 , A x A 都是A 上的二元关系 ● ● 又如：A 上的恒等关系， ● I ={a , a |a ∈A } A ● 例子：自然数的小于关系 ● 设 N 是自然数全体的集合，则 ● ● ={a , b |a ∈N , b ∈N , a b } ● 设A={ 孙中山，梁启超，华罗庚，陈景润 ● ● 定义A 上的二元关系如下： ● ● A={( 孙, 孙),( 梁, 梁),( 华, 华),( 陈, 陈), ● ( 孙, 梁),( 梁, 孙),( 孙, 华),( 华, 孙), ● ( 梁, 华),( 华, 梁),( 华, 陈),( 陈, 华) ● 例子：A 是世界上所有的人全体构成的集合。 ● 定义A 上的二