第三章 单纯形法(1,2两节)精品.ppt

第二节 单纯形法 第二节 单纯形法 第二节 单纯形法 第二节 单纯形法 第二节 单纯形法 第二节 单纯形法 第二节 单纯形法 第二节 单纯形法 第二节 单纯形法 第二节 单纯形法 第三章 单纯形法 本章主要介绍求解线性规划问题的单纯形法及解的类型，其基本要求为： 1. 理解凸集的极点（顶点）与线性规划问题 解的关系。 2. 熟练掌握单纯形法的迭代过程和应用。 3. 熟悉线性规划问题的标准型掌握两阶段法 和大M法。 4.了解改进单纯形法。 知识结构 单 纯 形 法 解的几何意义 单纯形法 解的讨论 单纯形表迭代过程 再论单纯形法 改进单纯形法 单纯形法的基本思路 凸集的极点与基本可行解 凸集、线性规划问题的解 改进单纯形法的优点 有关名词、概念 大M法、两阶段法 选择基本矩阵的方法总结 目标函数为最小的问题 解的四种形式及判断方法 本节主要介绍凸集的概念及凸集的顶点与线性规划问题可行解的关系，为理解单纯形法的解题思路打下基础。 在上一章第三节我们已经得出这样的结论，若两个或三个变量的线性规划问题的最优解存在，则可以在问题的可行域的顶点上达到。这个结论可以推广到三个以上变量的线性规划问题上去，以下内容是与此有关的说明与论证。 凸集。若任意两点X（1）、X（2） （X（1）≠X（2））在某个点集中，且连接这两点的线段上的所有点也在这个点集之中，称这个点集为凸集。 第一节 线性规划问题的几何意义 第一节 线性规划问题的几何意义 第一节 线性规划问题的几何意义 凸集定义的另外一种表示形式： 设X（1）、X（2） （X（1）≠X（2））是n维欧氏空间（高等数学中常用名词，参看文献（3）中的一个点集，任意两点X（1）、X（2）∈K 的连线上一切点[αX（1）+（1-α）X（2）] ∈K（0α1）,则称K为凸集。 请按如下思路理解：以X（1）、X（2））（X（1）≠X（2））为端点的线段上的任一点都可以表示为[αX（1）+（1-α）X（2）] （0α1）当α在（0，1）之间变化时，上式表示的点就在以X（1）、X（2）为端点的线段上滑动，（α=1/2时，在二维空间中（初等平面解析几何中），上式就是中点坐标）。这与前面的定义实质上是一致的。 第一节 线性规划问题的几何意义 2.极点: 设K是凸集，X∈K ；若X不能用不同的两点X(1) ∈K ， X(2) ∈K 的线性组合表示为X=αX（1）+（1-α）X（2） （0α1） ，则称此点是K的一个极点或顶点，其直观意义就是X不是K中任何线段的内点，也就是说点X不能在以K内的任意两点为端点的线段上。如三角形、长方体的顶点就是凸集的集点。 第一节 线性规划问题的几何意义 线性规划问题的解 1.可行解 ：满足线性规划问题全部约束条件的解。所有可行解的集合称为可行域。 2.最优解 ：在线性规划问题的可行解中，使目标函数值达到最优的解。 3.基本解及基本可行解 在线性规划问题约束条件方程中，由与约束条件个数相等的若干个系数列向量组成的满秩矩阵叫基本矩阵。 一个有n个变量m个约束（m≤n）的线性规划问题至多可以有Cnm个基本矩阵所谓满秩矩阵，就是给这个矩阵作行线性变换不会出现某一行元素 第一节 线性规划问题的几何意义 全为零的情况(与方程组有关的线性变换不考虑列变换)；所谓矩阵的行线性变换就是给矩阵的某一行元素同乘以一个非零常数或给矩阵的某一行同乘以非零常数后再加到另一行，过程与我们中学学过的解方程组的消元法完全一致。详细内容请参看文献（3）中与此有关的内容。 令不与基本矩阵中列向量对应的变量（这些变量就叫非基变量 ）为零后，约束方程中剩余的与基本矩阵对应的变量就可唯一求得（这些变量就叫基变量），求得的这个解就叫基本解（参看课本16页）。 简单的说，就是“通过基本矩阵求得的线性规划问题的解”。 第一节 线性规划问题的几何意义 基本解的形式是 X=（x1*, x2*,…, xm*,0,0,…,0） ， 基变量 非基变量 若每一个分量大于或等于零，这个解就叫基本可行解。 三、 凸集的极点与线性规划问题的基本可行解 定理1 约束条件为AX=b，X≥0线性规划问题的可行解 集是凸集。 定理3 线性规划问题的基本可行解 X对应于可行域D的极点。 第一节 线性规划问题的几何意义 定理