5.1_刚体和刚体的基本运动.pptVIP

(3) 当质点作圆周运动时： 质点以角速度ω 作半径为r 的圆运动，相对圆心的动量矩的大小 kgm2/s (5) 单位: (4) 动量矩的定义并没有限定质点只能作曲线运动而不能作直线运动。 2. 刚体绕定轴转动的动量矩 ? ? O 质点对 z 轴的动量矩 刚体上任一质量元对 z 轴的动量矩为 ? O z 刚体上任一质量元对 z 轴的动量矩具有相同的方向。 (所有质元对 z 轴的角动量之和) ? ? O ? O z 说明 动量矩与质点动量 对比: Jz — m，? — v 。 二、 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律 已知 1.质点的动量矩定理 —— 质点动量矩定理的微分形式。 作用在质点上的力矩等于质点动量矩对时间的变化率。此即质点对固定点的动量矩定理。 ——质点动量矩定理的积分形式。 积分，得 冲量矩 (1) 飞轮的角加速度。 四、转动定律的应用举例 求: 例1一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计 。 (2) 如以重量P =98 N的物体挂在 绳端,试计算飞轮的角加速度。 解 (1) (2) 两者区别? 例2 一定滑轮质量为 m，半径为 r , 不能伸长的轻绳两边分别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上, m1 m2, 绳与滑轮间无相对滑动。设轮轴光滑无摩擦, 滑轮的初角速度为零。 求:滑轮转动角速度随时间变化的规律。 解:以m1 ,m2 ,m 为研究对象,受力分析 滑轮 m： m1： m2： 例3一根长为l、质量为 m 的均匀细直棒, 其一端有一固定的光滑水平轴, 因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在竖直位置, 由于微小扰动, 在重力作用下由 静止开始转动。 求:它由此下摆角 时的 角加速度和角速度。 ? P l /2 O l 解: 棒下摆为加速过程, 外力矩为重力对O的力矩。重力作用在棒重心, 当棒处在下摆? 角时, 重力矩大小为： 重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。 因此棒绕轴O的转动惯量为： ? P l /2 O l 棒处于θ角时： 而 作变换： 两边积分： 角速度： 例4 一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为?，令圆盘最初以角速度?0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？ r R dr ? d? e 解 由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=?rd?dre，所受到的阻力矩是r?dmg 。 此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是 因m=?e?R2，代入得 根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度. 设圆盘经过时间t停止转动，则有 由此求得 5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 一、 定轴转动刚体的动能 z ? O 的动能为 P ? 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半。 刚体的总动能 二、力矩的功 ? O 根据功的定义 （力矩做功的微分形式） 对一有限过程 若 M = C 力的累积过程 —力矩的空间累积效应。 . P (2) 力矩的功就是力的功。 (3) 内力矩作功之和为零。 (1) 合力矩的功 讨论 (4) 力矩的功率 力矩的功率可以写成力矩与角速度的乘积。 三、绕定轴刚体的动能定理 （合力矩功的效果） 元功 对于一有限过程 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量, 等于在该过程中作用在刚体上所有外力矩所作功的总和。绕定轴转动刚体的动能定理。 即 (3) 刚体动能的增量，等于外力的功。 (2) 刚体的内力做功之和为零。 (1) 质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功。 讨论 刚体重力势能 定轴转动刚体的机械能 质心的势能 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立。 四、 刚体的机械能 例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动, 初始时它在水平位置。 解 由动能定理 求 它由此下摆 ? 角时的 ? 。 O l m ? C x 此题也可用机械能守恒定律方便求解。 而 O l m ? C x h 例2 一个质量为M , 半径为 R 的定滑轮 (当作均匀圆盘 ) 上面绕有细绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦。 O R m M 求 物体 m 由静止下落高度